c. \( 0, \widehat{9}\left(x-\frac{1}{7}\right)=\left(\frac{5}{7}\right)^{2} \)

Para resolver la ecuación \( 0, \widehat{9}\left(x-\frac{1}{7}\right)=\left(\frac{5}{7}\right)^{2} \), primero interpretamos el símbolo \( \widehat{9} \) como un número decimal periódico, que representa \( 0.9999\ldots \). Este número es igual a 1. Por lo tanto, podemos reescribir la ecuación como: \[ x - \frac{1}{7} = \left(\frac{5}{7}\right)^{2} \] Calculamos \( \left(\frac{5}{7}\right)^{2} \): \[ \left(\frac{5}{7}\right)^{2} = \frac{25}{49} \] Ahora sustituimos esto en la ecuación: \[ x - \frac{1}{7} = \frac{25}{49} \] Para resolver para \( x \), sumamos \( \frac{1}{7} \) a ambos lados. Primero, necesitamos expresar \( \frac{1}{7} \) con un denominador de 49: \[ \frac{1}{7} = \frac{7}{49} \] Entonces, la ecuación se convierte en: \[ x = \frac{25}{49} + \frac{7}{49} \] Sumamos las fracciones: \[ x = \frac{25 + 7}{49} = \frac{32}{49} \] Por lo tanto, la solución es: \[ x = \frac{32}{49} \]