Wade Bates
11/24/2023 · High School
\( = 2 \int _ { 0 } ^ { 8 } \sqrt { t ^ { 2 } + 2 t + 2 } d t \)
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Step-by-step Solution
Para resolver la integral \( 2 \int _ { 0 } ^ { 8 } \sqrt { t ^ { 2 } + 2 t + 2 } \, dt \), primero simplificamos la expresión dentro de la raíz.
La expresión \( t^2 + 2t + 2 \) se puede reescribir completando el cuadrado:
\[
t^2 + 2t + 2 = (t^2 + 2t + 1) + 1 = (t + 1)^2 + 1
\]
Por lo tanto, la integral se convierte en:
\[
2 \int _ { 0 } ^ { 8 } \sqrt{(t + 1)^2 + 1} \, dt
\]
Ahora, podemos usar una sustitución trigonométrica para resolver la integral. Sea \( t + 1 = \tan(\theta) \), entonces \( dt = \sec^2(\theta) \, d\theta \) y la integral se transforma en:
\[
2 \int \sqrt{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) \, d\theta = 2 \int \sec(\theta) \sec^2(\theta) \, d\theta = 2 \int \sec^3(\theta) \, d\theta
\]
La integral de \( \sec^3(\theta) \) es conocida y se puede resolver usando la fórmula:
\[
\int \sec^3(\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \sec(\theta) \tan(\theta) + \frac{1}{2} \ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) | + C
\]
Ahora, necesitamos cambiar los límites de integración. Cuando \( t = 0 \), \( \tan(\theta) = 1 \) lo que implica que \( \theta = \frac{\pi}{4} \). Cuando \( t = 8 \), \( \tan(\theta) = 9 \) lo que implica que \( \theta = \tan^{-1}(9) \).
Por lo tanto, la integral se evalúa de \( \frac{\pi}{4} \) a \( \tan^{-1}(9) \):
\[
2 \left[ \frac{1}{2} \sec(\theta) \tan(\theta) + \frac{1}{2} \ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) | \right] \bigg|_{\frac{\pi}{4}}^{\tan^{-1}(9)}
\]
Evaluando en los límites:
1. Para \( \theta = \tan^{-1}(9) \):
- \( \sec(\tan^{-1}(9)) = \sqrt{1 + 9^2} = \sqrt{82} \)
- \( \tan(\tan^{-1}(9)) = 9 \)
Entonces:
\[
\sec(\tan^{-1}(9)) \tan(\tan^{-1}(9)) = \sqrt{82} \cdot 9
\]
\[
\ln | \sec(\tan^{-1}(9)) + \tan(\tan^{-1}(9)) | = \ln | \sqrt{82} + 9 |
\]
2. Para \( \theta = \frac{\pi}{4} \):
- \( \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \)
- \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \)
Entonces:
\[
\sec\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}
\]
\[
\ln | \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) | = \ln | \sqrt{2} + 1 |
\]
Finalmente, la integral se evalúa como:
\[
2 \left[ \frac{1}{2} \left( \sqrt{82} \cdot 9 + \ln | \sqrt{82} + 9 | \right) - \frac{1}{2} \left( \sqrt{2} + \ln | \sqrt{2} + 1 | \right) \right]
\]
Simplificando, obtenemos el resultado final.
Quick Answer
Para resolver la integral \( 2 \int _ { 0 } ^ { 8 } \sqrt { t ^ { 2 } + 2 t + 2 } \, dt \), primero simplificamos la expresión dentro de la raíz a \( (t + 1)^2 + 1 \). Luego, utilizamos una sustitución trigonométrica y evaluamos la integral en los límites \( \frac{\pi}{4} \) y \( \tan^{-1}(9) \). El resultado final se obtiene después de simplificar los términos resultantes.
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