Una partícula se mueve a lo largo del eje \( x \) a una velocidad de \( 1 / \sqrt{t}(t) \) en el tiempo \( t=1 \) su posición es de \( x=4 \) Encuentre las funciones, posición y aceleración de la partícula

Para encontrar las funciones de posición y aceleración de la partícula, comenzamos con la información dada sobre la velocidad. La velocidad \( v(t) \) de la partícula está dada por: \[ v(t) = \frac{1}{\sqrt{t}} \] La velocidad es la derivada de la posición \( x(t) \) con respecto al tiempo \( t \): \[ v(t) = \frac{dx}{dt} \] Por lo tanto, podemos escribir: \[ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{t}} \] Para encontrar la posición \( x(t) \), integramos la función de velocidad: \[ x(t) = \int v(t) \, dt = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt \] La integral de \( \frac{1}{\sqrt{t}} \) es: \[ x(t) = 2\sqrt{t} + C \] donde \( C \) es una constante de integración que determinaremos usando la condición inicial. Sabemos que en \( t = 1 \), \( x(1) = 4 \): \[ x(1) = 2\sqrt{1} + C = 2 + C = 4 \] De aquí, podemos resolver para \( C \): \[ C = 4 - 2 = 2 \] Por lo tanto, la función de posición es: \[ x(t) = 2\sqrt{t} + 2 \] Ahora, para encontrar la aceleración \( a(t) \), recordamos que la aceleración es la derivada de la velocidad: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} \] Primero, encontramos \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{1}{\sqrt{t}} = t^{-1/2} \] Ahora, derivamos \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{d}{dt}(t^{-1/2}) = -\frac{1}{2}t^{-3/2} \] Por lo tanto, la función de aceleración es: \[ a(t) = -\frac{1}{2\sqrt{t^3}} \] Resumiendo, las funciones de posición y aceleración de la partícula son: \[ x(t) = 2\sqrt{t} + 2 \] \[ a(t) = -\frac{1}{2\sqrt{t^3}} \]