Cuando resoluemos una ecuación dife \( y^{\prime} x-y^{2}=0 \)

Para resolver la ecuación diferencial \( y' x - y^2 = 0 \), primero podemos reescribirla de una manera más clara. La ecuación se puede expresar como: \[ y' = \frac{y^2}{x} \] donde \( y' \) representa la derivada de \( y \) con respecto a \( x \). Esta es una ecuación diferencial separable, lo que significa que podemos separar las variables \( y \) y \( x \). Para hacerlo, reescribimos la ecuación de la siguiente manera: \[ \frac{dy}{y^2} = \frac{dx}{x} \] Ahora, integramos ambos lados: \[ \int \frac{dy}{y^2} = \int \frac{dx}{x} \] La integral del lado izquierdo es: \[ -\frac{1}{y} + C_1 \] y la integral del lado derecho es: \[ \ln |x| + C_2 \] Donde \( C_1 \) y \( C_2 \) son constantes de integración. Igualando ambas integrales, tenemos: \[ -\frac{1}{y} = \ln |x| + C \] donde \( C = C_2 - C_1 \) es una nueva constante de integración. Ahora, despejamos \( y \): \[ \frac{1}{y} = -\ln |x| - C \] \[ y = \frac{1}{- \ln |x| - C} \] Esta es la solución general de la ecuación diferencial dada. Recuerda que el valor de \( C \) se puede determinar si se proporciona una condición inicial.