HALLAR \( (F \circ g)(x) \) y SU DOMINIO \( F(x)=1+\sqrt{x} \quad g(x)=2 x+1 \)

Para hallar \( (F \circ g)(x) \), primero necesitamos entender qué significa esta notación. \( (F \circ g)(x) \) se refiere a la composición de las funciones \( F \) y \( g \), lo que significa que vamos a sustituir \( g(x) \) en \( F(x) \). Dadas las funciones: - \( F(x) = 1 + \sqrt{x} \) - \( g(x) = 2x + 1 \) Primero, calculamos \( g(x) \): \[ g(x) = 2x + 1 \] Ahora sustituimos \( g(x) \) en \( F(x) \): \[ (F \circ g)(x) = F(g(x)) = F(2x + 1) \] Sustituyendo \( 2x + 1 \) en \( F(x) \): \[ F(2x + 1) = 1 + \sqrt{2x + 1} \] Por lo tanto, tenemos: \[ (F \circ g)(x) = 1 + \sqrt{2x + 1} \] Ahora, para determinar el dominio de \( (F \circ g)(x) \), debemos considerar el dominio de \( F(x) \) y \( g(x) \). 1. **Dominio de \( g(x) \)**: La función \( g(x) = 2x + 1 \) es un polinomio, por lo que su dominio es \( \mathbb{R} \) (todos los números reales). 2. **Dominio de \( F(x) \)**: La función \( F(x) = 1 + \sqrt{x} \) está definida cuando \( x \geq 0 \). Por lo tanto, el dominio de \( F \) es \( [0, \infty) \). Ahora, para que \( F(g(x)) \) esté definida, necesitamos que \( g(x) \) esté en el dominio de \( F \): \[ g(x) = 2x + 1 \geq 0 \] Resolviendo la desigualdad: \[ 2x + 1 \geq 0 \implies 2x \geq -1 \implies x \geq -\frac{1}{2} \] Por lo tanto, el dominio de \( (F \circ g)(x) \) es: \[ \text{Dominio de } (F \circ g) = \left[-\frac{1}{2}, \infty\right) \] En resumen, tenemos: \[ (F \circ g)(x) = 1 + \sqrt{2x + 1} \] y su dominio es \( \left[-\frac{1}{2}, \infty\right) \).