La función inyectiva \( g \) se define a continuación. \[ g(x)=\frac{9 x-1}{5 x+9} \] Hallar \( g^{-1}(x) \), donde \( g^{-1} \) es la inversa de \( g \). Indicar el dominio y el rango de \( g^{-1} \) en notación de intervalos.

Para encontrar la inversa de la función \( g(x) = \frac{9x - 1}{5x + 9} \), seguimos los siguientes pasos: 1. **Igualar \( g(x) \) a \( y \)**: \[ y = \frac{9x - 1}{5x + 9} \] 2. **Despejar \( x \)** en términos de \( y \)**: Multiplicamos ambos lados por \( 5x + 9 \) para eliminar el denominador: \[ y(5x + 9) = 9x - 1 \] Esto se puede reescribir como: \[ 5xy + 9y = 9x - 1 \] Ahora, agrupamos todos los términos que contienen \( x \) en un lado: \[ 5xy - 9x = -1 - 9y \] Factorizamos \( x \): \[ x(5y - 9) = -1 - 9y \] Finalmente, despejamos \( x \): \[ x = \frac{-1 - 9y}{5y - 9} \] 3. **Sustituir \( y \) por \( x \)** para obtener \( g^{-1}(x) \): \[ g^{-1}(x) = \frac{-1 - 9x}{5x - 9} \] Ahora que tenemos la inversa, determinamos el dominio y el rango de \( g^{-1}(x) \). ### Dominio de \( g^{-1}(x) \) El dominio de \( g^{-1}(x) \) se determina por los valores de \( x \) que hacen que el denominador \( 5x - 9 \) sea diferente de cero: \[ 5x - 9 \neq 0 \implies x \neq \frac{9}{5} \] Por lo tanto, el dominio de \( g^{-1}(x) \) es: \[ \text{Dominio de } g^{-1}(x) = (-\infty, \frac{9}{5}) \cup (\frac{9}{5}, \infty) \] ### Rango de \( g^{-1}(x) \) El rango de \( g^{-1}(x) \) es igual al dominio de \( g(x) \). Para encontrar el dominio de \( g(x) \), observamos que el denominador \( 5x + 9 \) no puede ser cero: \[ 5x + 9 \neq 0 \implies x \neq -\frac{9}{5} \] Por lo tanto, el dominio de \( g(x) \) es: \[ \text{Dominio de } g(x) = (-\infty, -\frac{9}{5}) \cup (-\frac{9}{5}, \infty) \] Esto implica que el rango de \( g^{-1}(x) \) es: \[ \text{Rango de } g^{-1}(x) = (-\infty, -\frac{9}{5}) \cup (-\frac{9}{5}, \infty) \] ### Resumen La inversa de la función es: \[ g^{-1}(x) = \frac{-1 - 9x}{5x - 9} \] El dominio de \( g^{-1}(x) \) es: \[ (-\infty, \frac{9}{5}) \cup (\frac{9}{5}, \infty) \] El rango de \( g^{-1}(x) \) es: \[ (-\infty, -\frac{9}{5}) \cup (-\frac{9}{5}, \infty) \]