\( \lim _ { n \rightarrow \infty } ( \sqrt { 2 n } + \sqrt { n } ) ( \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } ) \)

Para resolver el límite \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } ( \sqrt { 2 n } + \sqrt { n } ) ( \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } ), \] primero simplificamos la expresión \( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \). Usamos la identidad de la diferencia de cuadrados: \[ \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{(n + 1) - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}. \] Ahora, sustituimos esto en el límite: \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } ( \sqrt { 2 n } + \sqrt { n } ) \cdot \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}. \] A continuación, simplificamos \( \sqrt{2n} + \sqrt{n} \): \[ \sqrt{2n} + \sqrt{n} = \sqrt{n}(\sqrt{2} + 1). \] Ahora, sustituimos esto en el límite: \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac{\sqrt{n}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}. \] Para simplificar \( \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \), notamos que cuando \( n \) es grande, \( \sqrt{n + 1} \) se puede aproximar como \( \sqrt{n} \): \[ \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \approx \sqrt{n} + \sqrt{n} = 2\sqrt{n}. \] Por lo tanto, el límite se convierte en: \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac{\sqrt{n}(\sqrt{2} + 1)}{2\sqrt{n}} = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac{\sqrt{2} + 1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2}. \] Finalmente, el resultado del límite es: \[ \frac{\sqrt{2} + 1}{2}. \]