Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita a um custo de \( \$ 10 \) para o material. O custo do material para a base é \( \$ 0,15 \) o decímetro quadrado, e o material para os lados custa 80,30 o decímetro quadrado. Ache as dimensôes da caixa com volume máximo que pode ser feita.

Para resolver o problema, vamos definir as variáveis e as equações necessárias. Seja \( x \) a largura da base da caixa (em decímetros), \( y \) o comprimento da base (em decímetros) e \( h \) a altura da caixa (em decímetros). O volume \( V \) da caixa é dado por: \[ V = x \cdot y \cdot h \] O custo do material para a base da caixa é dado por: \[ C_{\text{base}} = 0,15 \cdot (x \cdot y) \] O custo do material para os lados da caixa (4 lados) é dado por: \[ C_{\text{sides}} = 80,30 \cdot (2xh + 2yh) \] Assim, o custo total \( C \) da caixa é: \[ C = C_{\text{base}} + C_{\text{sides}} = 0,15xy + 80,30(2xh + 2yh) \] Sabemos que o custo total deve ser igual a \( 10 \): \[ 0,15xy + 80,30(2xh + 2yh) = 10 \] Agora, vamos simplificar a equação: \[ 0,15xy + 160,60xh + 160,60yh = 10 \] Agora, podemos expressar \( h \) em termos de \( x \) e \( y \) usando a equação do volume. Da equação do volume, temos: \[ h = \frac{V}{xy} \] Substituindo \( h \) na equação do custo: \[ 0,15xy + 160,60x\left(\frac{V}{xy}\right) + 160,60y\left(\frac{V}{xy}\right) = 10 \] Simplificando: \[ 0,15xy + 160,60\frac{V}{y} + 160,60\frac{V}{x} = 10 \] Agora, vamos reorganizar a equação para encontrar uma relação entre \( x \) e \( y \). Para maximizar o volume, podemos usar a condição de custo. Vamos resolver a equação para \( h \): \[ h = \frac{10 - 0,15xy}{160,60(x + y)} \] Agora, substituímos \( h \) na equação do volume: \[ V = xy \cdot \frac{10 - 0,15xy}{160,60(x + y)} \] Para maximizar \( V \), precisamos derivar essa função em relação a \( x \) e \( y \) e igualar a zero. No entanto, isso pode ser complicado. Uma abordagem mais simples é usar a condição de custo para expressar \( h \) em termos de \( x \) e \( y \) e, em seguida, maximizar o volume. Vamos considerar um caso específico onde \( x = y \) para simplificar a análise. Assim, temos: \[ h = \frac{10 - 0,15x^2}{160,60(2x)} \] Substituindo na equação do volume: \[ V = x^2 \cdot \frac{10 - 0,15x^2}{320,60x} = \frac{x(10 - 0,15x^2)}{320,60} \] Agora, derivamos \( V \) em relação a \( x \) e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico: \[ \frac{dV}{dx} = \frac{(10 - 0,15x^2) - 0,15x^2}{320,60} = 0 \] Resolvendo a equação: \[ 10 - 0,30x^2 = 0 \implies 0,30x^2 = 10 \implies x^2 = \frac{10}{0,30} \implies x^2 = \frac{100}{3} \implies x = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5,77 \text{ dm} \] Assim, \( y = x \approx 5,77 \text{ dm} \). Agora, substituímos \( x \) de volta para encontrar \( h \): \[ h = \frac{10 - 0,15(5,77)^2}{160,60(2 \cdot 5,77)} \] Calculando \( h \): \[ h \approx \frac{10 - 0,15 \cdot 33,33}{321,20}