Resolver 17/09 Hallar el valur de cada uno de los Ángu los interiores de los Triangulos \( \hat{b}=5 x-10^{\circ} \) \( \hat{c}=2 x+10^{\circ} \)

Para resolver el problema, primero necesitamos recordar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a \(180^\circ\). En este caso, tenemos dos ángulos dados en términos de \(x\): \[ \hat{b} = 5x - 10^\circ \] \[ \hat{c} = 2x + 10^\circ \] Llamemos al tercer ángulo del triángulo \(\hat{a}\). Entonces, podemos escribir la ecuación: \[ \hat{a} + \hat{b} + \hat{c} = 180^\circ \] Sustituyendo los valores de \(\hat{b}\) y \(\hat{c}\): \[ \hat{a} + (5x - 10^\circ) + (2x + 10^\circ) = 180^\circ \] Simplificando la ecuación: \[ \hat{a} + 5x - 10^\circ + 2x + 10^\circ = 180^\circ \] \[ \hat{a} + 7x = 180^\circ \] Ahora, podemos expresar \(\hat{a}\) en términos de \(x\): \[ \hat{a} = 180^\circ - 7x \] Ahora tenemos los tres ángulos en función de \(x\): 1. \(\hat{b} = 5x - 10^\circ\) 2. \(\hat{c} = 2x + 10^\circ\) 3. \(\hat{a} = 180^\circ - 7x\) Para encontrar el valor de \(x\), necesitamos que todos los ángulos sean positivos. Por lo tanto, debemos resolver las siguientes desigualdades: 1. \(5x - 10^\circ > 0\) 2. \(2x + 10^\circ > 0\) 3. \(180^\circ - 7x > 0\) Resolviendo cada una: 1. \(5x - 10 > 0 \Rightarrow 5x > 10 \Rightarrow x > 2\) 2. \(2x + 10 > 0 \Rightarrow 2x > -10 \Rightarrow x > -5\) (esta condición es menos restrictiva) 3. \(180 - 7x > 0 \Rightarrow 7x < 180 \Rightarrow x < \frac{180}{7} \approx 25.71\) Por lo tanto, la solución para \(x\) es: \[ 2 < x < \frac{180}{7} \approx 25.71 \] Ahora, podemos elegir un valor de \(x\) dentro de este rango. Por ejemplo, si tomamos \(x = 3\): 1. \(\hat{b} = 5(3) - 10 = 15 - 10 = 5^\circ\) 2. \(\hat{c} = 2(3) + 10 = 6 + 10 = 16^\circ\) 3. \(\hat{a} = 180 - 7(3) = 180 - 21 = 159^\circ\) Por lo tanto, los ángulos interiores del triángulo son: - \(\hat{a} = 159^\circ\) - \(\hat{b} = 5^\circ\) - \(\hat{c} = 16^\circ\) Si deseas un valor diferente de \(x\) dentro del rango, puedes repetir el proceso.