Tres fuerzas que actúan sobre un objeto están dadas por \( \vec{F}_{1}=(-4 i+3 j) \mathrm{N} \) y \( \vec{F}_{2}= \) \( (8 i-5 j) N \) y \( \vec{F}_{3}^{\prime}=(i+5 j) \mathrm{N} \). El objeto experimenta una aceleración de \( 5,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \) de magnitud. a. ¿Cuál es la dirección de la aceleración? b. ¿Cuál es la masa del objeto? c. Si el objeto inicialmente está en reposo, ¿euál es su rapidez después de 5 s ? d. ¿Cuáles son las componentes de velocidad del objeto después de 5 s ?

Para resolver el problema, primero necesitamos calcular la fuerza neta que actúa sobre el objeto sumando las tres fuerzas dadas. ### a. Dirección de la aceleración Las fuerzas son: \[ \vec{F}_{1} = -4 \hat{i} + 3 \hat{j} \, \text{N} \] \[ \vec{F}_{2} = 8 \hat{i} - 5 \hat{j} \, \text{N} \] \[ \vec{F}_{3} = \hat{i} + 5 \hat{j} \, \text{N} \] Sumamos las fuerzas: \[ \vec{F}_{\text{net}} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} \] \[ \vec{F}_{\text{net}} = (-4 \hat{i} + 3 \hat{j}) + (8 \hat{i} - 5 \hat{j}) + (\hat{i} + 5 \hat{j}) \] \[ \vec{F}_{\text{net}} = (-4 + 8 + 1) \hat{i} + (3 - 5 + 5) \hat{j} \] \[ \vec{F}_{\text{net}} = 5 \hat{i} + 3 \hat{j} \, \text{N} \] La dirección de la aceleración se puede encontrar a partir de la fuerza neta. La aceleración está en la misma dirección que la fuerza neta. Para encontrar la dirección, calculamos el ángulo \(\theta\) con respecto al eje \(x\): \[ \tan(\theta) = \frac{F_y}{F_x} = \frac{3}{5} \] \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \] ### b. Masa del objeto Usamos la segunda ley de Newton: \[ \vec{F}_{\text{net}} = m \vec{a} \] La magnitud de la fuerza neta es: \[ |\vec{F}_{\text{net}}| = \sqrt{(5)^2 + (3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \, \text{N} \] La magnitud de la aceleración es \(5.5 \, \text{m/s}^2\). Entonces: \[ |\vec{F}_{\text{net}}| = m \cdot 5.5 \] \[ \sqrt{34} = m \cdot 5.5 \] \[ m = \frac{\sqrt{34}}{5.5} \approx \frac{5.831}{5.5} \approx 1.06 \, \text{kg} \] ### c. Rapidez después de 5 s Si el objeto inicialmente está en reposo, la velocidad final se puede calcular usando la fórmula: \[ \vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{a} t \] Dado que \(\vec{v}_0 = 0\): \[ \vec{v} = \vec{a} t \] La magnitud de la aceleración es \(5.5 \, \text{m/s}^2\), así que: \[ |\vec{v}| = 5.5 \cdot 5 = 27.5 \, \text{m/s} \] ### d. Componentes de velocidad después de 5 s La aceleración tiene componentes: \[ \vec{a} = \frac{\vec{F}_{\text{net}}}{m} = \frac{5 \hat{i} + 3 \hat{j}}{1.06} \approx 4.72 \hat{i} + 2.83 \hat{j} \, \text{m/s}^2 \] Entonces, las componentes de la velocidad después de 5 s son: \[ v_x = a_x \cdot t = 4.72 \cdot 5 \approx 23.6 \, \text{m/s} \] \[ v_y = a_y \cdot t = 2.83 \cdot 5 \approx 14.15 \, \text{m/s} \] Por lo tanto, las componentes de la velocidad después de 5 s son aproximadamente: \[ \vec{v} \approx 23.6 \hat{i