Докажите неравенство: 1) \( a^{2}+b^{2}+6 a-4 b+13 \geq 0 \) 2) \( x^{2}-2 x+y^{2}+10 y+28>0 \) 3) \( 2 m^{2}-6 m n+9 n^{2}-6 m+9 \geq 0 \) 4) \( a^{2}+b^{2}+c^{2}+12 \geq 4(a+b+c) \) 5) \( a^{2} b^{2}+a^{2}+b^{2}+1 \geq 4 a b \)

Давайте поочередно докажем каждое из предложенных неравенств. ### 1) \( a^{2}+b^{2}+6 a-4 b+13 \geq 0 \) Для доказательства этого неравенства мы можем использовать метод Completing the Square (завершение квадрата). Перепишем выражение: \[ a^2 + 6a + b^2 - 4b + 13 \] Завершим квадрат для \(a\) и \(b\): \[ = (a^2 + 6a + 9) + (b^2 - 4b + 4) + 13 - 9 - 4 \] \[ = (a + 3)^2 + (b - 2)^2 + 0 \] Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то: \[ (a + 3)^2 \geq 0 \quad \text{и} \quad (b - 2)^2 \geq 0 \] Следовательно, \[ (a + 3)^2 + (b - 2)^2 \geq 0 \] Таким образом, \[ a^{2}+b^{2}+6 a-4 b+13 \geq 0 \] ### 2) \( x^{2}-2 x+y^{2}+10 y+28>0 \) Сначала завершим квадрат для \(x\) и \(y\): \[ x^2 - 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 + 28 - 1 - 25 \] \[ = (x - 1)^2 + (y + 5)^2 + 2 \] Так как квадраты неотрицательны, то: \[ (x - 1)^2 \geq 0 \quad \text{и} \quad (y + 5)^2 \geq 0 \] Следовательно, \[ (x - 1)^2 + (y + 5)^2 + 2 > 0 \] Таким образом, \[ x^{2}-2 x+y^{2}+10 y+28>0 \] ### 3) \( 2 m^{2}-6 m n+9 n^{2}-6 m+9 \geq 0 \) Перепишем неравенство: \[ 2m^2 - 6mn + 9n^2 - 6m + 9 \] Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно \(m\): \[ 2m^2 - (6n + 6)m + (9n^2 + 9) \] Дискриминант этого квадратного уравнения: \[ D = (6n + 6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (9n^2 + 9) = 36n^2 + 72n + 36 - 72n^2 - 72 = -36n^2 + 72n - 36 \] Для того чтобы неравенство было верно, необходимо, чтобы дискриминант был меньше или равен нулю: \[ -36(n^2 - 2n + 1) \leq 0 \implies (n - 1)^2 \geq 0 \] Это всегда верно, следовательно, \[ 2 m^{2}-6 m n+9 n^{2}-6 m+9 \geq 0 \] ### 4) \( a^{2}+b^{2}+c^{2}+12 \geq 4(a+b+c) \) Перепишем неравенство: \[ a^2 + b^2 + c^2 - 4a - 4b - 4c + 12 \geq 0 \] Завершим квадрат: \[ = (a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 4b + 4) + (c^2 - 4c + 4) + 12 - 12 \] \[ = (a - 2)^2 + (b - 2)^2 + (c - 2)^2 \] Так как квадраты неотрицательны, то: \[ (a - 2)^2 + (b - 2)^2 + (c - 2)^2 \geq 0 \] Таким образом, \[ a^{2}+b^{2}+c^{2}+