1. Brenda ya empezó con la construcción de los invernaderos, el primero tendrá un ancho de \( 5^{2} \mathrm{~m} \) y de largo \( 5^{3} \mathrm{~m} \). a) Calcula el área del primer invernadero utilizando tus conocimientos sobre producto de potencias. b) El segundo invernadero tiene la misma área que el primero, pero el largo es de 131 m . ¿Cuál es el ancho del segundo invernadero? Lee la siguiente información y responde llo que se solicita, incluyendo tus procedimientos: Alejandro, el amigo de Brenda, también planea la construcción de dos invernaderos. El mayor tendrá un área de \( A_{1}=z(1-w) \) y el menor un área de \( A_{2}=z(1-w) w \). a) Determina una expresión con la diferencia de las áreas de los invernaderos de Alejandro y exprésala de forma factorizada. Si z=57 y w=o.3 b) ¿Cuál es el valor de cada una de las áreas? c) ¿Cuál es el valor de la diferencia de las áreas de los dos invernaderos? d) ¿Se obtiene lo mismo al restar el valor de cada una de las áreas que al sustituir \( z=57 \) y w \( =0.3 \) en la expresión que encontraste en el inciso a? ¿Por qué?

Vamos a resolver cada parte del problema paso a paso. ### Parte 1: Invernaderos de Brenda #### a) Cálculo del área del primer invernadero El ancho del primer invernadero es \( 5^2 \, \text{m} \) y el largo es \( 5^3 \, \text{m} \). Para calcular el área \( A \) del invernadero, utilizamos la fórmula del área de un rectángulo: \[ A = \text{ancho} \times \text{largo} \] Sustituyendo los valores: \[ A = 5^2 \times 5^3 \] Utilizando la propiedad del producto de potencias, que dice que \( a^m \times a^n = a^{m+n} \): \[ A = 5^{2+3} = 5^5 \] Ahora calculamos \( 5^5 \): \[ 5^5 = 3125 \, \text{m}^2 \] Por lo tanto, el área del primer invernadero es \( 3125 \, \text{m}^2 \). #### b) Cálculo del ancho del segundo invernadero El segundo invernadero tiene la misma área que el primero, es decir, \( 3125 \, \text{m}^2 \), y su largo es de \( 131 \, \text{m} \). Usamos la fórmula del área nuevamente: \[ A = \text{ancho} \times \text{largo} \] Sustituyendo los valores: \[ 3125 = \text{ancho} \times 131 \] Despejamos el ancho: \[ \text{ancho} = \frac{3125}{131} \] Calculamos el ancho: \[ \text{ancho} \approx 23.8 \, \text{m} \] ### Parte 2: Invernaderos de Alejandro #### a) Expresión de la diferencia de áreas Las áreas de los invernaderos de Alejandro son: - Mayor: \( A_1 = z(1 - w) \) - Menor: \( A_2 = z(1 - w)w \) La diferencia de áreas es: \[ A_1 - A_2 = z(1 - w) - z(1 - w)w \] Factorizamos \( z(1 - w) \): \[ A_1 - A_2 = z(1 - w)(1 - w) \] Esto se puede simplificar a: \[ A_1 - A_2 = z(1 - w)^2 \] #### b) Cálculo de las áreas con \( z = 57 \) y \( w = 0.3 \) Sustituyendo los valores en las expresiones de las áreas: 1. Para \( A_1 \): \[ A_1 = 57(1 - 0.3) = 57(0.7) = 39.9 \] 2. Para \( A_2 \): \[ A_2 = 57(1 - 0.3)(0.3) = 57(0.7)(0.3) = 57(0.21) = 11.97 \] #### c) Cálculo de la diferencia de áreas Ahora calculamos la diferencia de áreas: \[ A_1 - A_2 = 39.9 - 11.97 = 27.93 \] #### d) Comparación de resultados Ahora, sustituimos \( z = 57 \) y \( w = 0.3 \) en la expresión factorizada que encontramos en el inciso a: \[ A_1 - A_2 = z(1 - w)^2 = 57(1 - 0.3)^2 = 57(0.7)^2 = 57(0.49) = 27.93 \] Ambos métodos dan el mismo resultado, \( 27.93 \). Esto se debe a que la expresión factorizada es algebraicamente equivalente a la diferencia de las áreas calculadas directamente. Por lo tanto, sí se obtiene lo mismo al restar el valor de cada una de las áreas que al sustituir en la expresión factorizada.