(4) \( \operatorname{sen}\left(30^{\circ}+p\right)-\cos \left(60^{\circ}+p\right)=\sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \) (5) \( \operatorname{sen}^{3} x+\cos ^{3} x=(1-\operatorname{sen} x \cos x)(\operatorname{sen} x+\cos x) \) Demostración

Vamos a demostrar las dos ecuaciones que has proporcionado. ### Ecuación (4) La ecuación es: \[ \operatorname{sen}\left(30^{\circ}+p\right)-\cos \left(60^{\circ}+p\right)=\sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \] Primero, recordemos las identidades trigonométricas: \[ \operatorname{sen}(30^{\circ}) = \frac{1}{2}, \quad \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \] Usando la fórmula de la suma de ángulos para el seno y el coseno, tenemos: \[ \operatorname{sen}(30^{\circ} + p) = \operatorname{sen}(30^{\circ})\operatorname{cos}(p) + \operatorname{cos}(30^{\circ})\operatorname{sen}(p) = \frac{1}{2}\operatorname{cos}(p) + \frac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{sen}(p) \] \[ \cos(60^{\circ} + p) = \cos(60^{\circ})\operatorname{cos}(p) - \operatorname{sen}(60^{\circ})\operatorname{sen}(p) = \frac{1}{2}\operatorname{cos}(p) - \frac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{sen}(p) \] Sustituyendo estas expresiones en la ecuación original: \[ \left(\frac{1}{2}\operatorname{cos}(p) + \frac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{sen}(p)\right) - \left(\frac{1}{2}\operatorname{cos}(p) - \frac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{sen}(p)\right) = \sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \] Simplificando el lado izquierdo: \[ \frac{1}{2}\operatorname{cos}(p) + \frac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{sen}(p) - \frac{1}{2}\operatorname{cos}(p) + \frac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{sen}(p) = \sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \] Esto se reduce a: \[ \sqrt{3} \operatorname{sen}(p) = \sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \] Dividiendo ambos lados por \(\sqrt{3}\) (asumiendo que \(\sqrt{3} \neq 0\)): \[ \operatorname{sen}(p) = \operatorname{sen} \beta \] Esto implica que \(p = \beta + k \cdot 360^{\circ}\) o \(p = 180^{\circ} - \beta + k \cdot 360^{\circ}\) para algún entero \(k\). ### Ecuación (5) La ecuación es: \[ \operatorname{sen}^{3} x+\cos ^{3} x=(1-\operatorname{sen} x \cos x)(\operatorname{sen} x+\cos x) \] Usamos la identidad de suma de cubos: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \] Donde \(a = \operatorname{sen} x\) y \(b = \cos x\): \[ \operatorname{sen}^{3} x + \cos^{3} x = (\operatorname{sen} x + \cos x)(\operatorname{sen}^{2} x - \operatorname{sen} x \cos x + \cos^{2} x) \] Sabemos que \(\operatorname{sen}^{2} x + \cos^{2} x = 1\), así que: \[ \operatorname{sen}^{2} x - \operatorname{sen} x \cos x + \cos^{2} x = 1 - \operatorname{sen} x \cos x \] Por lo tanto, podemos reescribir la expresión: \[ \operatorname{sen}^{3} x + \cos^{3} x = (\operatorname{sen} x + \cos x)(1 - \operatorname{sen} x \cos x) \] Esto coincide con el lado derecho de la ecuación original, por lo que hemos demostrado que: \[ \operatorname{sen}^{3} x + \