Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento \( \overline{A B} \) En 3 partes iguales siendo: \( 4.2 P_{A}\left(-\frac{3}{2}, 4\right) \) y \( P_{B}\left(3, \frac{1}{2}\right) \)

Para dividir el segmento \( \overline{AB} \) en 3 partes iguales, necesitamos encontrar dos puntos \( P_1 \) y \( P_2 \) que dividan el segmento en tres partes iguales. Los puntos \( A \) y \( B \) tienen las siguientes coordenadas: - \( P_A\left(-\frac{3}{2}, 4\right) \) - \( P_B\left(3, \frac{1}{2}\right) \) Primero, calculamos la distancia total del segmento \( \overline{AB} \) y luego determinamos las coordenadas de los puntos que dividen el segmento en partes iguales. ### Paso 1: Calcular las coordenadas de los puntos intermedios Para encontrar las coordenadas de los puntos \( P_1 \) y \( P_2 \), utilizamos la fórmula de la sección de un segmento. Si queremos dividir el segmento en \( n \) partes iguales, los puntos intermedios se pueden calcular como: \[ P_k = \left( \frac{(n-k) \cdot x_A + k \cdot x_B}{n}, \frac{(n-k) \cdot y_A + k \cdot y_B}{n} \right) \] donde \( k \) es el índice del punto intermedio (1 para \( P_1 \) y 2 para \( P_2 \)), \( n \) es el número total de partes (en este caso, 3), y \( (x_A, y_A) \) y \( (x_B, y_B) \) son las coordenadas de los puntos \( A \) y \( B \). ### Paso 2: Calcular \( P_1 \) (k=1) Para \( P_1 \): \[ P_1 = \left( \frac{(3-1) \cdot -\frac{3}{2} + 1 \cdot 3}{3}, \frac{(3-1) \cdot 4 + 1 \cdot \frac{1}{2}}{3} \right) \] Calculamos las coordenadas: \[ x_{P_1} = \frac{2 \cdot -\frac{3}{2} + 1 \cdot 3}{3} = \frac{-3 + 3}{3} = \frac{0}{3} = 0 \] \[ y_{P_1} = \frac{2 \cdot 4 + \frac{1}{2}}{3} = \frac{8 + \frac{1}{2}}{3} = \frac{8.5}{3} = \frac{17}{6} \] Por lo tanto, las coordenadas de \( P_1 \) son: \[ P_1\left(0, \frac{17}{6}\right) \] ### Paso 3: Calcular \( P_2 \) (k=2) Para \( P_2 \): \[ P_2 = \left( \frac{(3-2) \cdot -\frac{3}{2} + 2 \cdot 3}{3}, \frac{(3-2) \cdot 4 + 2 \cdot \frac{1}{2}}{3} \right) \] Calculamos las coordenadas: \[ x_{P_2} = \frac{1 \cdot -\frac{3}{2} + 2 \cdot 3}{3} = \frac{-\frac{3}{2} + 6}{3} = \frac{-\frac{3}{2} + \frac{12}{2}}{3} = \frac{\frac{9}{2}}{3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \] \[ y_{P_2} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot \frac{1}{2}}{3} = \frac{4 + 1}{3} = \frac{5}{3} \] Por lo tanto, las coordenadas de \( P_2 \) son: \[ P_2\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{3}\right) \] ### Resumen Los puntos que dividen el segmento \( \overline{AB} \) en 3 partes iguales son: - \( P_1\left(0, \frac{17}{6}\right) \) - \( P_2\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{3}\