Ortega Carrillo
03/28/2023 · High School
Exercicel : Déterminer le domaine de définition de \( f \) et Etudier la continuité de \( f \) en \( a \) dans les cas suivants : \( a=\frac{-1}{2} \quad\left\{\begin{array}{ll}f(x)=\frac{\sqrt{2 x+2}-1}{4 x^{2}-1} & x \neq 0 \\ f\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{-1}{4}\end{array}\right. \) \( a=1 \quad\left\{\begin{array}{ll}f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{2}}{x-1} & x<1 \\ f(x)=\frac{x^{2}-2 x-8}{|x-2|-2} & x \geq 1\end{array}\right. \)
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Pour déterminer le domaine de définition de la fonction \( f \) et étudier sa continuité en \( a \), nous allons examiner chaque cas séparément.
### Cas 1 : \( a = \frac{-1}{2} \)
La fonction est définie par :
\[
f(x) = \frac{\sqrt{2x + 2} - 1}{4x^2 - 1} \quad \text{pour } x \neq 0
\]
et \( f\left(\frac{-1}{2}\right) = \frac{-1}{4} \).
#### 1. Domaine de définition
1. **Dénominateur** : \( 4x^2 - 1 \neq 0 \)
\[
4x^2 - 1 = 0 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2}
\]
Donc, \( x \neq \frac{1}{2} \) et \( x \neq -\frac{1}{2} \).
2. **Racine carrée** : \( 2x + 2 \geq 0 \)
\[
2x + 2 \geq 0 \implies 2x \geq -2 \implies x \geq -1
\]
En combinant ces deux conditions, le domaine de définition de \( f \) est :
\[
D_f = [-1, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)
\]
#### 2. Continuité en \( a = -\frac{1}{2} \)
Pour étudier la continuité en \( x = -\frac{1}{2} \), nous devons vérifier si :
\[
\lim_{x \to -\frac{1}{2}} f(x) = f\left(-\frac{1}{2}\right)
\]
Calculons la limite :
\[
\lim_{x \to -\frac{1}{2}} f(x) = \lim_{x \to -\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{2x + 2} - 1}{4x^2 - 1}
\]
En substituant \( x = -\frac{1}{2} \) dans le numérateur :
\[
\sqrt{2(-\frac{1}{2}) + 2} - 1 = \sqrt{1} - 1 = 0
\]
Et dans le dénominateur :
\[
4(-\frac{1}{2})^2 - 1 = 4 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 1 - 1 = 0
\]
Nous avons une forme indéterminée \( \frac{0}{0} \). Nous devons donc appliquer la règle de l'Hôpital.
Calculons les dérivées :
- Dérivée du numérateur : \( \frac{d}{dx}(\sqrt{2x + 2} - 1) = \frac{1}{2\sqrt{2x + 2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 2}} \)
- Dérivée du dénominateur : \( \frac{d}{dx}(4x^2 - 1) = 8x \)
Appliquons la règle de l'Hôpital :
\[
\lim_{x \to -\frac{1}{2}} f(x) = \lim_{x \to -\frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{2x + 2}}}{8x} = \frac{1/\sqrt{1}}{8(-\frac{1}{2})} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}
\]
Ainsi, nous avons :
\[
\lim_{x \to -\frac{1}{2}} f(x) = -\frac{1}{4} = f\left(-\frac{1}{2}\right)
\]
Donc, \( f \) est continue en \( x = -\frac{1}{2} \).
### Cas 2 : \( a = 1 \)
La fonction est définie par :
\[
f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{2}}{x - 1} \quad \text{pour } x < 1
\
Quick Answer
### Cas 1 : \( a = -\frac{1}{2} \)
#### Domaine de définition
Le domaine de définition de \( f \) est \( D_f = [-1, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty) \).
#### Continuité en \( a = -\frac{1}{2} \)
\( f \) est continue en \( x = -\frac{1}{2} \).
### Cas 2 : \( a = 1 \)
La fonction est définie par \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{2}}{x - 1} \) pour \( x < 1 \) et \( f(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{|x - 2| - 2} \) pour \( x \geq 1 \).
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