Sandoval Chang
06/01/2024 · Middle School
Résoudre dans \( \mathbb{Z} \), l'équation \( n^{2}+6 \equiv 0[5] \)
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Step-by-step Solution
Pour résoudre l'équation \( n^{2} + 6 \equiv 0 \mod{5} \), nous pouvons réécrire l'équation comme suit :
\[
n^{2} \equiv -6 \mod{5}
\]
Calculons \( -6 \mod{5} \) :
\[
-6 \equiv -6 + 10 \equiv 4 \mod{5}
\]
Ainsi, l'équation devient :
\[
n^{2} \equiv 4 \mod{5}
\]
Nous devons maintenant déterminer les valeurs de \( n \) dans \( \mathbb{Z} \) qui satisfont cette équation. Nous allons examiner les résidus quadratiques modulo 5. Les valeurs possibles de \( n \mod{5} \) sont \( 0, 1, 2, 3, 4 \). Calculons \( n^{2} \mod{5} \) pour chacune de ces valeurs :
- Si \( n \equiv 0 \mod{5} \), alors \( n^{2} \equiv 0^{2} \equiv 0 \mod{5} \)
- Si \( n \equiv 1 \mod{5} \), alors \( n^{2} \equiv 1^{2} \equiv 1 \mod{5} \)
- Si \( n \equiv 2 \mod{5} \), alors \( n^{2} \equiv 2^{2} \equiv 4 \mod{5} \)
- Si \( n \equiv 3 \mod{5} \), alors \( n^{2} \equiv 3^{2} \equiv 9 \equiv 4 \mod{5} \)
- Si \( n \equiv 4 \mod{5} \), alors \( n^{2} \equiv 4^{2} \equiv 16 \equiv 1 \mod{5} \)
Nous avons donc les résultats suivants :
- \( n^{2} \equiv 0 \mod{5} \) pour \( n \equiv 0 \)
- \( n^{2} \equiv 1 \mod{5} \) pour \( n \equiv 1 \) et \( n \equiv 4 \)
- \( n^{2} \equiv 4 \mod{5} \) pour \( n \equiv 2 \) et \( n \equiv 3 \)
Nous cherchons les valeurs de \( n \) telles que \( n^{2} \equiv 4 \mod{5} \). Cela se produit lorsque :
\[
n \equiv 2 \mod{5} \quad \text{ou} \quad n \equiv 3 \mod{5}
\]
Les solutions générales dans \( \mathbb{Z} \) peuvent donc être exprimées comme :
\[
n = 5k + 2 \quad \text{ou} \quad n = 5k + 3 \quad \text{pour tout } k \in \mathbb{Z}
\]
Ainsi, les solutions de l'équation \( n^{2} + 6 \equiv 0 \mod{5} \) dans \( \mathbb{Z} \) sont :
\[
n \equiv 2 \mod{5} \quad \text{ou} \quad n \equiv 3 \mod{5}
\]
Quick Answer
Les solutions de l'équation \( n^{2} + 6 \equiv 0 \mod{5} \) sont \( n \equiv 2 \mod{5} \) ou \( n \equiv 3 \mod{5} \).
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