\( \int _{}^{}3^{\sqrt [4]{x^{5}}} d x \)

Para resolver la integral \( \int 3^{\sqrt[4]{x^5}} \, dx \), primero haremos un cambio de variable para simplificar la expresión. Sea \( u = \sqrt[4]{x^5} \). Entonces, podemos expresar \( x \) en términos de \( u \): \[ u = x^{5/4} \implies x = u^{4/5} \] Ahora, calculamos \( dx \): \[ dx = \frac{d}{du}(u^{4/5}) \, du = \frac{4}{5} u^{-1/5} \, du \] Sustituyendo \( x \) y \( dx \) en la integral, tenemos: \[ \int 3^{\sqrt[4]{x^5}} \, dx = \int 3^u \cdot \frac{4}{5} u^{-1/5} \, du \] Ahora, la integral se convierte en: \[ \frac{4}{5} \int 3^u u^{-1/5} \, du \] Esta integral no tiene una solución elemental, pero se puede expresar en términos de la función gamma o utilizando métodos numéricos o aproximaciones. Sin embargo, si solo necesitas la forma de la integral, podemos dejarla así: \[ \frac{4}{5} \int 3^u u^{-1/5} \, du + C \] donde \( C \) es la constante de integración.