Question 2 Find the smallest value of \( n \) that produces an \( x^{-9} \) term in the expansion of \( x^{-2}\left(\frac{7}{x^{3}}+5 x^{5}\right)^{n} \), where \( n \in \mathbb{Z} \) .

Para encontrar el valor más pequeño de \( n \) que produce un término \( x^{-9} \) en la expansión de \[ x^{-2}\left(\frac{7}{x^{3}}+5 x^{5}\right)^{n}, \] primero, reescribimos la expresión dentro del paréntesis: \[ \frac{7}{x^{3}} + 5x^{5} = 7x^{-3} + 5x^{5}. \] Ahora, aplicamos el binomio de Newton para expandir \( (7x^{-3} + 5x^{5})^{n} \). El término general de esta expansión se puede expresar como: \[ \binom{n}{k} (7x^{-3})^{n-k} (5x^{5})^{k} = \binom{n}{k} 7^{n-k} 5^{k} x^{-3(n-k)} x^{5k}. \] Simplificando el exponente de \( x \): \[ x^{-3(n-k) + 5k} = x^{-3n + 3k + 5k} = x^{-3n + 8k}. \] Ahora, multiplicamos este término por \( x^{-2} \): \[ x^{-2} \cdot x^{-3n + 8k} = x^{-3n + 8k - 2}. \] Queremos que este término sea igual a \( x^{-9} \), por lo que igualamos los exponentes: \[ -3n + 8k - 2 = -9. \] Resolviendo esta ecuación: \[ -3n + 8k = -9 + 2, \] \[ -3n + 8k = -7. \] Reorganizando, obtenemos: \[ 3n = 8k + 7, \] \[ n = \frac{8k + 7}{3}. \] Para que \( n \) sea un número entero, \( 8k + 7 \) debe ser divisible por 3. Ahora, evaluamos \( 8k + 7 \) módulo 3: \[ 8k \equiv 2k \mod 3 \quad (\text{ya que } 8 \equiv 2 \mod 3), \] \[ 8k + 7 \equiv 2k + 1 \mod 3. \] Queremos que \( 2k + 1 \equiv 0 \mod 3 \), lo que implica: \[ 2k \equiv -1 \equiv 2 \mod 3 \quad (\text{sumando 3}), \] \[ k \equiv 1 \mod 3. \] Por lo tanto, \( k \) puede tomar los valores \( 1, 4, 7, \ldots \). Ahora, probamos con el valor más pequeño, \( k = 1 \): \[ n = \frac{8(1) + 7}{3} = \frac{15}{3} = 5. \] Verificamos si \( n = 5 \) produce un término \( x^{-9} \): \[ 3n = 3(5) = 15, \] \[ 8k + 7 = 8(1) + 7 = 15. \] Ambos lados son iguales, por lo que efectivamente produce un término \( x^{-9} \). Por lo tanto, el valor más pequeño de \( n \) que produce un término \( x^{-9} \) es \[ \boxed{5}. \]