3.7 Найдите функцию \( x=\emptyset(y) \), обратную а) \( y=x^{4}, x \in[0 ;+\infty) ; \) б) \( y=x^{4} ; x \in(-\infty ; 0] ; \) в) \( y=x^{2 m}, x \in(0 ;+\infty), m \in N ; \) г) \( y=x^{2 m}, x \in(-\infty ; 0], m \in N ; \) д) \( y=x^{2 m}+1, x \in(-\infty ;+\infty), m \in N ; \) е) \( y=a^{x}, x \in(-\infty ;+\infty), a>0, a \neq 1 \)

Для нахождения обратной функции \( x = \emptyset(y) \) для каждой из заданных функций, мы будем решать уравнение \( y = f(x) \) относительно \( x \). ### а) \( y = x^4, x \in [0; +\infty) \) Чтобы найти обратную функцию, выразим \( x \): \[ y = x^4 \implies x = y^{1/4} \] Таким образом, обратная функция: \[ x = \emptyset(y) = y^{1/4}, \quad y \in [0; +\infty) \] ### б) \( y = x^4, x \in (-\infty; 0] \) Здесь \( x \) будет отрицательным, но уравнение остается тем же: \[ y = x^4 \implies x = -(-y)^{1/4} = -y^{1/4} \] Таким образом, обратная функция: \[ x = \emptyset(y) = -y^{1/4}, \quad y \in [0; +\infty) \] ### в) \( y = x^{2m}, x \in (0; +\infty), m \in \mathbb{N} \) Решаем уравнение: \[ y = x^{2m} \implies x = y^{1/(2m)} \] Таким образом, обратная функция: \[ x = \emptyset(y) = y^{1/(2m)}, \quad y \in [0; +\infty) \] ### г) \( y = x^{2m}, x \in (-\infty; 0], m \in \mathbb{N} \) Здесь \( x \) будет отрицательным: \[ y = x^{2m} \implies x = -(-y)^{1/(2m)} = -y^{1/(2m)} \] Таким образом, обратная функция: \[ x = \emptyset(y) = -y^{1/(2m)}, \quad y \in [0; +\infty) \] ### д) \( y = x^{2m} + 1, x \in (-\infty; +\infty), m \in \mathbb{N} \) Решаем уравнение: \[ y = x^{2m} + 1 \implies x^{2m} = y - 1 \implies x = (y - 1)^{1/(2m)} \] Таким образом, обратная функция: \[ x = \emptyset(y) = (y - 1)^{1/(2m)}, \quad y \in [1; +\infty) \] ### е) \( y = a^x, x \in (-\infty; +\infty), a > 0, a \neq 1 \) Решаем уравнение: \[ y = a^x \implies x = \log_a(y) = \frac{\log(y)}{\log(a)} \] Таким образом, обратная функция: \[ x = \emptyset(y) = \frac{\log(y)}{\log(a)}, \quad y > 0 \] ### Итоговые обратные функции: 1. \( x = \emptyset(y) = y^{1/4}, \quad y \in [0; +\infty) \) 2. \( x = \emptyset(y) = -y^{1/4}, \quad y \in [0; +\infty) \) 3. \( x = \emptyset(y) = y^{1/(2m)}, \quad y \in [0; +\infty) \) 4. \( x = \emptyset(y) = -y^{1/(2m)}, \quad y \in [0; +\infty) \) 5. \( x = \emptyset(y) = (y - 1)^{1/(2m)}, \quad y \in [1; +\infty) \) 6. \( x = \emptyset(y) = \frac{\log(y)}{\log(a)}, \quad y > 0 \)