(8) Calcula para que se cumplan las igualdades. \( \begin{array}{ll}\text { a) } 5^{\square} \cdot 3^{\square}=15^{2} & \text { c) } 7^{6} \cdot 3^{\square}=\square^{6} \\ \text { b) } \square^{3}: 4^{3}=3^{\square} & \text { d) } 6^{8}: \square \square=2^{8}\end{array} \)

Vamos a resolver cada una de las igualdades paso a paso. ### a) \( 5^{\square} \cdot 3^{\square} = 15^{2} \) Sabemos que \( 15 = 5 \cdot 3 \), por lo que podemos reescribir \( 15^{2} \): \[ 15^{2} = (5 \cdot 3)^{2} = 5^{2} \cdot 3^{2} \] Igualando las bases: \[ 5^{\square} \cdot 3^{\square} = 5^{2} \cdot 3^{2} \] Esto implica que: \[ \square = 2 \] ### b) \( \square^{3} : 4^{3} = 3^{\square} \) Reescribimos la división como multiplicación: \[ \square^{3} = 4^{3} \cdot 3^{\square} \] Sabemos que \( 4 = 2^{2} \), así que: \[ 4^{3} = (2^{2})^{3} = 2^{6} \] Por lo tanto, la ecuación se convierte en: \[ \square^{3} = 2^{6} \cdot 3^{\square} \] Para resolver esto, probamos con \( \square = 6 \): \[ 6^{3} = 216 \] \[ 2^{6} \cdot 3^{6} = 64 \cdot 729 = 46656 \quad \text{(no es igual)} \] Probamos con \( \square = 4 \): \[ 4^{3} = 64 \] \[ 2^{6} \cdot 3^{4} = 64 \cdot 81 = 5184 \quad \text{(no es igual)} \] Probamos con \( \square = 3 \): \[ 3^{3} = 27 \] \[ 2^{6} \cdot 3^{3} = 64 \cdot 27 = 1728 \quad \text{(no es igual)} \] Probamos con \( \square = 2 \): \[ 2^{3} = 8 \] \[ 2^{6} \cdot 3^{2} = 64 \cdot 9 = 576 \quad \text{(no es igual)} \] Probamos con \( \square = 1 \): \[ 1^{3} = 1 \] \[ 2^{6} \cdot 3^{1} = 64 \cdot 3 = 192 \quad \text{(no es igual)} \] Probamos con \( \square = 0 \): \[ 0^{3} = 0 \] \[ 2^{6} \cdot 3^{0} = 64 \cdot 1 = 64 \quad \text{(no es igual)} \] Finalmente, probamos con \( \square = 6 \): \[ 6^{3} = 216 \] \[ 2^{6} \cdot 3^{6} = 64 \cdot 729 = 46656 \quad \text{(no es igual)} \] Parece que no hay un valor que funcione. Vamos a revisar la ecuación original. ### c) \( 7^{6} \cdot 3^{\square} = \square^{6} \) Reescribimos la ecuación: \[ 3^{\square} = \left(\frac{\square^{6}}{7^{6}}\right) \] Probamos con \( \square = 7 \): \[ 3^{7} = 2187 \] \[ 7^{6} = 117649 \] No es igual. Probamos con \( \square = 6 \): \[ 3^{6} = 729 \] \[ 7^{6} = 117649 \] No es igual. Probamos con \( \square = 3 \): \[ 3^{3} = 27 \] \[ 7^{6} = 117649 \] No es igual. Probamos con \( \square = 1 \): \[ 3^{1} = 3 \] \[ 7^{6} = 117649 \] No es igual. Probamos con \( \square = 0 \): \[ 3^{0} = 1 \] \[ 7^{6} = 117649 \] No es igual