La diferencia de dos números es igual a 5 y su producto es igual a 126. ¿Cuáles son estos números?

Para encontrar los dos números, podemos establecer un sistema de ecuaciones basado en la información proporcionada. Sea \( x \) el primer número y \( y \) el segundo número. Sabemos que la diferencia entre los dos números es igual a 5, por lo tanto, podemos escribir la primera ecuación como: \[ x - y = 5 \] Además, sabemos que el producto de los dos números es igual a 126, por lo tanto, podemos escribir la segunda ecuación como: \[ xy = 126 \] Ahora, podemos resolver este sistema de ecuaciones para encontrar los valores de \( x \) y \( y \). Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}x-y=5\\xy=126\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=5+y\\xy=126\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(\left(5+y\right)y=126\) - step3: Simplify: \(y\left(5+y\right)=126\) - step4: Expand the expression: \(5y+y^{2}=126\) - step5: Move the expression to the left side: \(5y+y^{2}-126=0\) - step6: Factor the expression: \(\left(y-9\right)\left(y+14\right)=0\) - step7: Separate into possible cases: \(\begin{align}&y-9=0\\&y+14=0\end{align}\) - step8: Solve the equation: \(\begin{align}&y=9\\&y=-14\end{align}\) - step9: Calculate: \(y=9\cup y=-14\) - step10: Rearrange the terms: \(\left\{ \begin{array}{l}x=5+y\\y=9\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}x=5+y\\y=-14\end{array}\right.\) - step11: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x=14\\y=9\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}x=-9\\y=-14\end{array}\right.\) - step12: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x=-9\\y=-14\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}x=14\\y=9\end{array}\right.\) - step13: Check the solution: \(\left\{ \begin{array}{l}x=-9\\y=-14\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}x=14\\y=9\end{array}\right.\) - step14: Rewrite: \(\left(x,y\right) = \left(-9,-14\right)\cup \left(x,y\right) = \left(14,9\right)\) El sistema de ecuaciones tiene dos soluciones posibles: 1. \( x = -9 \) y \( y = -14 \) 2. \( x = 14 \) y \( y = 9 \) Por lo tanto, los dos números pueden ser -9 y -14, o 14 y 9.