3. Una recta paoa por el punto \( A(-2,1,3) \) eo perpendioular e inter cepta a la recta \( L\left(P^{\prime}=(2,2,1)+t(1,0,-1), t \in \pi\right. \). Hallar la ewación cur lealano de dicho recta.

Para encontrar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto \( A(-2, 1, 3) \) y es perpendicular a la recta \( L \) dada por \( P' = (2, 2, 1) + t(1, 0, -1) \), primero necesitamos determinar la dirección de la recta \( L \). La dirección de la recta \( L \) está dada por el vector \( \mathbf{d_L} = (1, 0, -1) \). Dado que la nueva recta que buscamos es perpendicular a \( L \), su dirección \( \mathbf{d} \) debe ser ortogonal a \( \mathbf{d_L} \). Esto significa que el producto punto entre \( \mathbf{d} \) y \( \mathbf{d_L} \) debe ser cero: \[ \mathbf{d} \cdot \mathbf{d_L} = 0 \] Si tomamos \( \mathbf{d} = (a, b, c) \), entonces: \[ (a, b, c) \cdot (1, 0, -1) = a - c = 0 \] De aquí, podemos deducir que \( a = c \). Por lo tanto, podemos expresar el vector de dirección de la nueva recta como \( \mathbf{d} = (a, b, a) \). Ahora, la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto \( A(-2, 1, 3) \) y tiene dirección \( \mathbf{d} = (a, b, a) \) se puede escribir como: \[ \begin{cases} x = -2 + at \\ y = 1 + bt \\ z = 3 + at \end{cases} \] Donde \( t \) es el parámetro. Para determinar \( a \) y \( b \), necesitamos más información. Sin embargo, podemos elegir valores para \( a \) y \( b \) que satisfagan la condición de perpendicularidad. Por ejemplo, podemos elegir \( a = 1 \) y \( b = 0 \), lo que nos da: \[ \mathbf{d} = (1, 0, 1) \] Sustituyendo estos valores en la ecuación paramétrica, obtenemos: \[ \begin{cases} x = -2 + t \\ y = 1 \\ z = 3 + t \end{cases} \] Por lo tanto, la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto \( A(-2, 1, 3) \) y es perpendicular a la recta \( L \) es: \[ \begin{cases} x = -2 + t \\ y = 1 \\ z = 3 + t \end{cases} \] Donde \( t \in \mathbb{R} \).