Determinar el culor de "K" de modo que los watro puntos \( A(1,2,-1) ; B(0,1,5) ; C(-2,2,1) \) y \( D(K, 1,3) \) eotén en un mismo plano.

Para determinar el valor de \( K \) de modo que los puntos \( A(1,2,-1) \), \( B(0,1,5) \), \( C(-2,2,1) \) y \( D(K, 1, 3) \) estén en un mismo plano, podemos utilizar el criterio de que los vectores formados por estos puntos deben ser linealmente dependientes. Primero, formamos los vectores \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \) y \( \vec{AD} \): \[ \vec{AB} = B - A = (0 - 1, 1 - 2, 5 - (-1)) = (-1, -1, 6) \] \[ \vec{AC} = C - A = (-2 - 1, 2 - 2, 1 - (-1)) = (-3, 0, 2) \] \[ \vec{AD} = D - A = (K - 1, 1 - 2, 3 - (-1)) = (K - 1, -1, 4) \] Los puntos estarán en el mismo plano si el determinante de la matriz formada por estos vectores es cero. Formamos la matriz: \[ \begin{vmatrix} -1 & -3 & K - 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 6 & 2 & 4 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ \begin{vmatrix} -1 & -3 & K - 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 6 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -1 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 6 & 4 \end{vmatrix} + (K - 1) \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes menores: 1. \( \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (0)(4) - (-1)(2) = 2 \) 2. \( \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 6 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4) - (-1)(6) = -4 + 6 = 2 \) 3. \( \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(2) - (0)(6) = -2 \) Sustituyendo en el determinante original: \[ = -1(2) + 3(2) + (K - 1)(-2) \] \[ = -2 + 6 - 2(K - 1) \] \[ = 4 - 2K + 2 \] \[ = 6 - 2K \] Igualamos el determinante a cero para que los puntos estén en el mismo plano: \[ 6 - 2K = 0 \] Resolviendo para \( K \): \[ 2K = 6 \implies K = 3 \] Por lo tanto, el valor de \( K \) que hace que los puntos \( A \), \( B \), \( C \) y \( D \) estén en el mismo plano es: \[ \boxed{3} \]