II. Resuelve las siguientes divisiones usando la regla de Ruffini: 1) \( x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}+5 x+12 \) Dividido entre \( x-4 \)

Para resolver la división de \( x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}+5 x+12 \) entre \( x-4 \) usando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. **Identificamos los coeficientes del polinomio**: - Los coeficientes de \( x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}+5 x+12 \) son: \( 1, -3, -6, 5, 12 \). 2. **Escribimos el número que corresponde a la raíz del divisor**: - Para \( x-4 \), la raíz es \( 4 \). 3. **Colocamos los coeficientes en una fila**: \[ \begin{array}{r|rrrrr} 4 & 1 & -3 & -6 & 5 & 12 \\ & & & & & \\ \end{array} \] 4. **Bajamos el primer coeficiente**: \[ \begin{array}{r|rrrrr} 4 & 1 & -3 & -6 & 5 & 12 \\ & & & & & \\ & 1 & & & & \\ \end{array} \] 5. **Multiplicamos y sumamos**: - Multiplicamos \( 4 \) por \( 1 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \[ 4 \cdot 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad -3 + 4 = 1 \] - Repetimos el proceso: \[ 4 \cdot 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad -6 + 4 = -2 \] \[ 4 \cdot -2 = -8 \quad \Rightarrow \quad 5 - 8 = -3 \] \[ 4 \cdot -3 = -12 \quad \Rightarrow \quad 12 - 12 = 0 \] 6. **Escribimos los resultados**: \[ \begin{array}{r|rrrrr} 4 & 1 & -3 & -6 & 5 & 12 \\ & & 4 & 4 & -8 & -12 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & -3 & 0 \\ \end{array} \] Los coeficientes del cociente son \( 1, 1, -2, -3 \), lo que significa que el cociente es: \[ x^{3} + x^{2} - 2x - 3 \] Y el residuo es \( 0 \). Por lo tanto, la división de \( x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}+5 x+12 \) entre \( x-4 \) da como resultado: \[ x^{3} + x^{2} - 2x - 3 \] con un residuo de \( 0 \).