2. Una empresa de repostería produce mensualmente cierta cantidad postres, la cual esta expresado por la función \( P(x)=(8 x-6)^{2} \), cada postre los vende de acuerdo a la función \( V(x)=9 x-6 \), en pesos. Si la producción mensual genera un costo de \( C(x)=24 x^{2}-50 x+15 \), en pesos, ¿determina la utilidad que genera la empresa mensualmente?

Para determinar la utilidad que genera la empresa mensualmente, necesitamos encontrar la diferencia entre los ingresos totales y los costos totales. Los ingresos totales se calculan multiplicando la cantidad de postres producidos por el precio de venta de cada postre. Por lo tanto, los ingresos totales se pueden expresar como: \[ \text{Ingresos totales} = P(x) \times V(x) \] Sustituyendo las funciones dadas, tenemos: \[ \text{Ingresos totales} = (8x-6)^2 \times (9x-6) \] Para calcular los costos totales, simplemente utilizamos la función de costo dada: \[ \text{Costos totales} = C(x) = 24x^2 - 50x + 15 \] Finalmente, la utilidad mensual se calcula como la diferencia entre los ingresos totales y los costos totales: \[ \text{Utilidad mensual} = \text{Ingresos totales} - \text{Costos totales} \] Sustituyendo las expresiones calculadas, tenemos: \[ \text{Utilidad mensual} = (8x-6)^2 \times (9x-6) - (24x^2 - 50x + 15) \] Ahora, podemos simplificar esta expresión para encontrar la utilidad mensual generada por la empresa. Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(\left(8x-6\right)^{2}\left(9x-6\right)-\left(24x^{2}-50x+15\right)\) - step1: Remove the parentheses: \(\left(8x-6\right)^{2}\left(9x-6\right)-24x^{2}+50x-15\) - step2: Expand the expression: \(576x^{3}-1248x^{2}+900x-216-24x^{2}+50x-15\) - step3: Subtract the terms: \(576x^{3}-1272x^{2}+950x-231\) La utilidad mensual generada por la empresa se puede expresar como \(576x^3 - 1272x^2 + 950x - 231\), donde \(x\) representa la cantidad de postres producidos mensualmente.