\( f(x) x^{2}+1 \) Entro \( x=2 \) y \( x=6 \) Con \& rectangulo

Para calcular el área bajo la curva de la función \( f(x) = x^2 + 1 \) entre \( x = 2 \) y \( x = 6 \) utilizando el método de los rectángulos, primero necesitamos determinar el ancho de los rectángulos y la altura de cada uno. ### Paso 1: Determinar el ancho de los rectángulos Supongamos que vamos a dividir el intervalo \([2, 6]\) en \( n \) subintervalos. El ancho de cada rectángulo será: \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{6 - 2}{n} = \frac{4}{n} \] ### Paso 2: Elegir los puntos para la altura de los rectángulos Podemos usar el extremo izquierdo, el extremo derecho o el punto medio de cada subintervalo para calcular la altura de los rectángulos. Aquí, usaremos el extremo izquierdo. Los puntos de evaluación serán: \[ x_i = 2 + i \cdot \Delta x = 2 + i \cdot \frac{4}{n} \quad \text{para } i = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \] ### Paso 3: Calcular la altura de los rectángulos La altura de cada rectángulo en el punto \( x_i \) es: \[ f(x_i) = (x_i)^2 + 1 = \left(2 + i \cdot \frac{4}{n}\right)^2 + 1 \] ### Paso 4: Calcular el área total El área aproximada bajo la curva usando \( n \) rectángulos es: \[ A \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \cdot \Delta x \] Sustituyendo \( f(x_i) \) y \( \Delta x \): \[ A \approx \sum_{i=0}^{n-1} \left( \left(2 + i \cdot \frac{4}{n}\right)^2 + 1 \right) \cdot \frac{4}{n} \] ### Paso 5: Simplificar la suma Expandimos \( \left(2 + i \cdot \frac{4}{n}\right)^2 \): \[ \left(2 + i \cdot \frac{4}{n}\right)^2 = 4 + 2 \cdot 2 \cdot i \cdot \frac{4}{n} + \left(i \cdot \frac{4}{n}\right)^2 = 4 + \frac{16i}{n} + \frac{16i^2}{n^2} \] Entonces, la suma se convierte en: \[ A \approx \sum_{i=0}^{n-1} \left(4 + \frac{16i}{n} + \frac{16i^2}{n^2} + 1\right) \cdot \frac{4}{n} \] \[ = \sum_{i=0}^{n-1} \left(5 + \frac{16i}{n} + \frac{16i^2}{n^2}\right) \cdot \frac{4}{n} \] ### Paso 6: Evaluar la suma Ahora evaluamos cada parte de la suma: 1. **Suma de constantes**: \[ \sum_{i=0}^{n-1} 5 \cdot \frac{4}{n} = 5 \cdot 4 = 20 \] 2. **Suma de \( i \)**: \[ \sum_{i=0}^{n-1} i = \frac{(n-1)n}{2} \quad \Rightarrow \quad \sum_{i=0}^{n-1} \frac{16i}{n} \cdot \frac{4}{n} = \frac{16 \cdot 4}{n^2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{32(n-1)}{n} \] 3. **Suma de \( i^2 \)**: \[ \sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \quad \Rightarrow \quad \sum_{i=0}^{n-1} \frac{16i^2}{n^2} \cdot \frac{4}{n} =