Ejercicio 1 Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas que tienen una duración distribuida de forma aproximadamente normal, con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 bombillas tiene una duración promedio de 780 horas, calcule un intervalo de confianza del \( 96 \% \) para la media de la población de todas las bombillas producidas por esta empresa.

Para calcular un intervalo de confianza para la media de la población, utilizamos la fórmula del intervalo de confianza para la media cuando la desviación estándar de la población es conocida. La fórmula es: \[ \bar{x} \pm z \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \] donde: - \(\bar{x}\) es la media muestral, - \(z\) es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de confianza deseado, - \(\sigma\) es la desviación estándar de la población, - \(n\) es el tamaño de la muestra. ### Datos del problema: - \(\bar{x} = 780\) horas (media muestral) - \(\sigma = 40\) horas (desviación estándar) - \(n = 30\) (tamaño de la muestra) - Nivel de confianza = \(96\%\) ### Paso 1: Encontrar el valor crítico \(z\) Para un nivel de confianza del \(96\%\), el área en cada cola de la distribución normal es \((1 - 0.96) / 2 = 0.02\). Buscamos el valor \(z\) que corresponde a un área acumulada de \(0.98\) (es decir, \(1 - 0.02\)). Consultando una tabla de la distribución normal estándar o utilizando una calculadora, encontramos que: \[ z \approx 2.05 \] ### Paso 2: Calcular el error estándar El error estándar (EE) se calcula como: \[ EE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{30}} \approx \frac{40}{5.477} \approx 7.30 \] ### Paso 3: Calcular el intervalo de confianza Ahora podemos calcular el intervalo de confianza: \[ \text{Límite inferior} = \bar{x} - z \cdot EE = 780 - 2.05 \cdot 7.30 \approx 780 - 14.965 \approx 765.035 \] \[ \text{Límite superior} = \bar{x} + z \cdot EE = 780 + 2.05 \cdot 7.30 \approx 780 + 14.965 \approx 794.965 \] ### Resultado final El intervalo de confianza del \(96\%\) para la media de la población de todas las bombillas producidas por esta empresa es aproximadamente: \[ (765.04, 794.97) \] Por lo tanto, podemos afirmar con un \(96\%\) de confianza que la duración media de las bombillas producidas por la empresa se encuentra entre \(765.04\) y \(794.97\) horas.