2 a) Para la siguiente función, calcular su forma factorizada, sus raices y sus intervalos de positividad y de negatividad. \( f(x)=2 x^{4}+8 x^{3}-6 x^{2}-20 x+16 \)

Para encontrar la forma factorizada de la función \( f(x) = 2x^4 + 8x^3 - 6x^2 - 20x + 16 \), primero factorizamos la expresión. Luego, encontramos las raíces de la función y determinamos los intervalos de positividad y negatividad. 1. **Factorización de la función:** Para factorizar la función \( f(x) = 2x^4 + 8x^3 - 6x^2 - 20x + 16 \), primero intentamos encontrar un factor común en todos los términos. En este caso, podemos factorizar \( f(x) \) como: \[ f(x) = 2(x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 10x + 8) \] 2. **Encontrar las raíces de la función:** Para encontrar las raíces de la función, igualamos la función a cero y resolvemos la ecuación resultante: \[ 2(x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 10x + 8) = 0 \] \[ x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 10x + 8 = 0 \] 3. **Determinar los intervalos de positividad y negatividad:** Para determinar los intervalos de positividad y negatividad, evaluamos la función en diferentes intervalos y observamos si el resultado es positivo o negativo. Vamos a calcular la forma factorizada de la función, encontrar las raíces y determinar los intervalos de positividad y negatividad. Factor the expression by following steps: - step0: Factor: \(2x^{4}+8x^{3}-6x^{2}-20x+16\) - step1: Factor the expression: \(2\left(x^{4}+4x^{3}-3x^{2}-10x+8\right)\) - step2: Factor the expression: \(2\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+6x+8\right)\) - step3: Factor the expression: \(2\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)\) - step4: Factor the expression: \(2\left(x-1\right)^{2}\left(x+2\right)\left(x+4\right)\) La forma factorizada de la función \( f(x) = 2x^4 + 8x^3 - 6x^2 - 20x + 16 \) es \( 2(x-1)^{2}(x+2)(x+4) \). Ahora, vamos a encontrar las raíces de la función. Las raíces de la función son los valores de \( x \) que hacen que la función sea igual a cero. En este caso, las raíces son \( x = 1 \), \( x = -2 \), y \( x = -4 \). Finalmente, para determinar los intervalos de positividad y negatividad, evaluamos la función en diferentes intervalos. Los intervalos de positividad y negatividad se determinan por el signo de la función en cada intervalo. Vamos a calcular estos intervalos. Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(x\): \(2\left(x-1\right)^{2}\left(x+2\right)\left(x+4\right)=0\) - step1: Calculate: \(\left(x-1\right)^{2}\left(x+2\right)\left(x+4\right)=0\) - step2: Separate into possible cases: \(\begin{align}&\left(x-1\right)^{2}=0\\&x+2=0\\&x+4=0\end{align}\) - step3: Solve the equation: \(\begin{align}&x=1\\&x=-2\\&x=-4\end{align}\) - step4: Rewrite: \(x_{1}=-4,x_{2}=-2,x_{3}=1\) Las raíces de la función son \( x = -4 \), \( x = -2 \), y \( x = 1 \). Para determinar los intervalos de positividad y negatividad, evaluamos la función en diferentes intervalos. Los intervalos de positividad y negatividad se determinan por el signo de la función en cada intervalo. Los intervalos de positividad y negatividad son: - Intervalo de positividad: \( x < -4 \) y \( -4 < x < -2 \) - Intervalo de negatividad: \( -2 < x < 1 \) y \( x > 1 \) Por lo tanto, la función es positiva en los intervalos \( x < -4 \) y \( -4 < x < -2 \), y negativa en los intervalos \( -2 < x < 1 \) y \( x > 1 \).