\( \frac{d}{dx}(x)=xy+x+y+1 \)

برای حل معادله \( \frac{d}{dx}(x) = xy + x + y + 1 \)، ابتدا مشتق سمت چپ را محاسبه می‌کنیم: \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \] بنابراین معادله به شکل زیر تبدیل می‌شود: \[ 1 = xy + x + y + 1 \] حالا می‌توانیم 1 را از دو طرف معادله کم کنیم: \[ 0 = xy + x + y \] این معادله یک معادله چندمتغیره است که می‌توان آن را به صورت زیر نوشت: \[ xy + x + y = 0 \] برای حل این معادله می‌توانیم آن را به صورت زیر فاکتور کنیم: \[ x(y + 1) + y = 0 \] این معادله می‌تواند به ما بگوید که: 1. \( x = 0 \) یا 2. \( y + 1 + \frac{y}{x} = 0 \) در نتیجه، می‌توانیم به بررسی شرایط مختلف بپردازیم. اگر سوال خاصی دارید یا نیاز به توضیحات بیشتری است، لطفاً بفرمایید.