Los puntos \( \mathrm{A}(4,4), \mathrm{B}(1,-3) \) y \( \mathrm{C}(-2,4) \) son los vértices de un triángulo. Calcula ingitud de las tres medianas y las coordenadas del baricentro.

Para calcular la longitud de las medianas de un triángulo y las coordenadas del baricentro, primero necesitamos encontrar las coordenadas de los puntos A, B y C, así como las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo. Los vértices del triángulo son: - \( A(4, 4) \) - \( B(1, -3) \) - \( C(-2, 4) \) ### Paso 1: Calcular los puntos medios de los lados 1. **Punto medio de \( BC \)**: \[ M_{BC} = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{1 + (-2)}{2}, \frac{-3 + 4}{2} \right) = \left( \frac{-1}{2}, \frac{1}{2} \right) \] 2. **Punto medio de \( AC \)**: \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{4 + 4}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{8}{2} \right) = (1, 4) \] 3. **Punto medio de \( AB \)**: \[ M_{AB} = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{4 + 1}{2}, \frac{4 + (-3)}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{1}{2} \right) \] ### Paso 2: Calcular las longitudes de las medianas La longitud de una mediana se puede calcular usando la fórmula de la distancia entre dos puntos. Las medianas son: 1. **Mediana desde \( A \) a \( M_{BC} \)**: \[ d_{AM_{BC}} = \sqrt{ \left( 4 - \left(-\frac{1}{2}\right) \right)^2 + \left( 4 - \frac{1}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \left( 4 + \frac{1}{2} \right)^2 + \left( 4 - \frac{1}{2} \right)^2 } \] \[ = \sqrt{ \left( \frac{8}{2} + \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{8}{2} - \frac{1}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{9}{2} \right)^2 + \left( \frac{7}{2} \right)^2 } \] \[ = \sqrt{ \frac{81}{4} + \frac{49}{4} } = \sqrt{ \frac{130}{4} } = \frac{\sqrt{130}}{2} \] 2. **Mediana desde \( B \) a \( M_{AC} \)**: \[ d_{BM_{AC}} = \sqrt{ \left( 1 - 1 \right)^2 + \left( -3 - 4 \right)^2 } = \sqrt{ 0 + (-7)^2 } = 7 \] 3. **Mediana desde \( C \) a \( M_{AB} \)**: \[ d_{CM_{AB}} = \sqrt{ \left( -2 - \frac{5}{2} \right)^2 + \left( 4 - \frac{1}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \left( -\frac{4}{2} - \frac{5}{2} \right)^2 + \left( \frac{8}{2} - \frac{1}{2} \right)^2 } \] \[ = \sqrt{ \left( -\frac{9}{2} \right)^2 + \left( \frac{7}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{81}{4} + \frac{49}{4} } = \sqrt{ \frac{130}{4} } = \frac{\sqrt{130}}{2} \