\& Resolver el tríangulo oblicuo si se sabe que \( a=35^{\circ}, a=10 \) y \( b=15 \)

Para resolver el triángulo oblicuo dado, utilizaremos la Ley de los Senos. Sabemos que tenemos un ángulo \( A = 35^\circ \), un lado \( a = 10 \) y otro lado \( b = 15 \). La Ley de los Senos establece que: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Donde \( A \), \( B \) y \( C \) son los ángulos opuestos a los lados \( a \), \( b \) y \( c \) respectivamente. Primero, podemos encontrar el ángulo \( B \) usando la relación de la Ley de los Senos: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \] Sustituyendo los valores que tenemos: \[ \frac{10}{\sin(35^\circ)} = \frac{15}{\sin B} \] Despejamos \( \sin B \): \[ \sin B = \frac{15 \cdot \sin(35^\circ)}{10} \] Calculamos \( \sin(35^\circ) \): \[ \sin(35^\circ) \approx 0.5736 \] Sustituyendo este valor: \[ \sin B = \frac{15 \cdot 0.5736}{10} = \frac{8.604}{10} = 0.8604 \] Ahora, encontramos el ángulo \( B \): \[ B = \arcsin(0.8604) \approx 60.0^\circ \] Ahora que tenemos \( A \) y \( B \), podemos encontrar el ángulo \( C \): \[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 35^\circ - 60^\circ = 85^\circ \] Ahora tenemos todos los ángulos del triángulo: \( A = 35^\circ \), \( B \approx 60^\circ \), y \( C \approx 85^\circ \). Finalmente, podemos encontrar el lado \( c \) usando la Ley de los Senos: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \] Despejamos \( c \): \[ c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} \] Sustituyendo los valores: \[ c = \frac{10 \cdot \sin(85^\circ)}{\sin(35^\circ)} \] Calculamos \( \sin(85^\circ) \): \[ \sin(85^\circ) \approx 0.9962 \] Sustituyendo: \[ c = \frac{10 \cdot 0.9962}{0.5736} \approx \frac{9.962}{0.5736} \approx 17.4 \] Por lo tanto, los resultados finales son: - \( A = 35^\circ \) - \( B \approx 60^\circ \) - \( C \approx 85^\circ \) - \( a = 10 \) - \( b = 15 \) - \( c \approx 17.4 \)