\( Q(x)=-2 x^{2}-2 \sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)} x-2 \sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} \) \( \angle \) Fared Ver ifcocon que ese polunomio no fiene unos

Para determinar si el polinomio \( Q(x) = -2x^2 - 2\sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)}x - 2\sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)^2} \) tiene raíces reales, debemos encontrar las raíces del polinomio. Para encontrar las raíces de un polinomio, debemos resolver la ecuación \( Q(x) = 0 \). Entonces, la ecuación a resolver es: \[ -2x^2 - 2\sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)}x - 2\sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 0 \] Vamos a resolver esta ecuación para determinar si el polinomio tiene raíces reales. Solve the equation(The complex numbers system) by following steps: - step0: Solve using the quadratic formula in the complex numbers system: \(-2x^{2}-2\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\times x-2\sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=0\) - step1: Simplify: \(-2x^{2}-\sqrt[3]{4}\times x-\sqrt[3]{2}=0\) - step2: Multiply both sides: \(2x^{2}+\sqrt[3]{4}\times x+\sqrt[3]{2}=0\) - step3: Solve using the quadratic formula: \(x=\frac{-\sqrt[3]{4}\pm \sqrt{\left(\sqrt[3]{4}\right)^{2}-4\times 2\sqrt[3]{2}}}{2\times 2}\) - step4: Simplify the expression: \(x=\frac{-\sqrt[3]{4}\pm \sqrt{\left(\sqrt[3]{4}\right)^{2}-4\times 2\sqrt[3]{2}}}{4}\) - step5: Simplify the expression: \(x=\frac{-\sqrt[3]{4}\pm \sqrt{-6\sqrt[3]{2}}}{4}\) - step6: Simplify the expression: \(x=\frac{-\sqrt[3]{4}\pm \sqrt[6]{432}\times i}{4}\) - step7: Separate into possible cases: \(\begin{align}&x=\frac{-\sqrt[3]{4}+\sqrt[6]{432}\times i}{4}\\&x=\frac{-\sqrt[3]{4}-\sqrt[6]{432}\times i}{4}\end{align}\) - step8: Simplify the expression: \(\begin{align}&x=-\frac{\sqrt[3]{4}}{4}+\frac{\sqrt[6]{432}}{4}i\\&x=\frac{-\sqrt[3]{4}-\sqrt[6]{432}\times i}{4}\end{align}\) - step9: Simplify the expression: \(\begin{align}&x=-\frac{\sqrt[3]{4}}{4}+\frac{\sqrt[6]{432}}{4}i\\&x=-\frac{\sqrt[3]{4}}{4}-\frac{\sqrt[6]{432}}{4}i\end{align}\) - step10: Rewrite: \(x_{1}=-\frac{\sqrt[3]{4}}{4}-\frac{\sqrt[6]{432}}{4}i,x_{2}=-\frac{\sqrt[3]{4}}{4}+\frac{\sqrt[6]{432}}{4}i\) - step11: Remove the complex number(s): \(\textrm{No real solution}\) La solución de la ecuación \( -2x^2 - 2\sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)}x - 2\sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 0 \) no tiene solución real. Por lo tanto, el polinomio \( Q(x) = -2x^2 - 2\sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)}x - 2\sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}\right)^2} \) no tiene raíces reales.