AplicACión Un bombardero vuela horizontalmente a una altura de 500 m con una velocidad de \( 100 \mathrm{~m} / \mathrm{seg} \). desde êl se suelta su proyectil, ¿En qué tiempo el proyectıl dará en el blanco, con qué velocidad legara a él y qué distancia horizontal alcanzará?

Para resolver el problema, vamos a descomponerlo en varias partes: el tiempo que tarda el proyectil en caer, la velocidad con la que impacta y la distancia horizontal que recorre. ### 1. Tiempo de caída El proyectil se suelta desde una altura de \( h = 500 \, \text{m} \). Usamos la ecuación del movimiento vertical bajo la influencia de la gravedad: \[ h = \frac{1}{2} g t^2 \] donde: - \( g \) es la aceleración debida a la gravedad, aproximadamente \( 9.81 \, \text{m/s}^2 \). - \( t \) es el tiempo en segundos. Despejamos \( t \): \[ t^2 = \frac{2h}{g} \] Sustituyendo los valores: \[ t^2 = \frac{2 \cdot 500 \, \text{m}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \approx \frac{1000}{9.81} \approx 101.83 \] \[ t \approx \sqrt{101.83} \approx 10.09 \, \text{s} \] ### 2. Velocidad de impacto La velocidad vertical del proyectil al momento de impactar se puede calcular usando la ecuación: \[ v_y = g t \] Sustituyendo el tiempo que hemos encontrado: \[ v_y = 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 10.09 \, \text{s} \approx 99.06 \, \text{m/s} \] La velocidad horizontal del proyectil es constante y es igual a la velocidad del bombardero, que es \( 100 \, \text{m/s} \). La velocidad total al impactar se puede calcular usando el teorema de Pitágoras: \[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \] donde \( v_x = 100 \, \text{m/s} \) y \( v_y \approx 99.06 \, \text{m/s} \): \[ v = \sqrt{(100)^2 + (99.06)^2} \approx \sqrt{10000 + 9802.52} \approx \sqrt{19802.52} \approx 140.71 \, \text{m/s} \] ### 3. Distancia horizontal La distancia horizontal recorrida por el proyectil se calcula como: \[ d = v_x \cdot t \] Sustituyendo los valores: \[ d = 100 \, \text{m/s} \cdot 10.09 \, \text{s} \approx 1009 \, \text{m} \] ### Resumen de resultados - **Tiempo de caída**: \( t \approx 10.09 \, \text{s} \) - **Velocidad de impacto**: \( v \approx 140.71 \, \text{m/s} \) - **Distancia horizontal alcanzada**: \( d \approx 1009 \, \text{m} \) Estos son los resultados del problema.