4. El agua disponible para riego en una semana está representada por la función \( f(x)=200 x \) donde \( x \) es el número de días. La cantidad de agua que se requiere por día para los cultivos está dada por la función \( g(x)=50 x+100 \) ¿Cuántos días puede regar el agricultor sus cultivos si divide el agua total disponible entre la cantidad de agua que se usa por día?

Para determinar cuántos días puede regar el agricultor sus cultivos, primero necesitamos calcular el agua total disponible en una semana y luego la cantidad de agua que se requiere por día. 1. **Calcular el agua total disponible en una semana:** La función que representa el agua disponible para riego en una semana es: \[ f(x) = 200x \] Si \( x = 7 \) (días de la semana), entonces: \[ f(7) = 200 \cdot 7 = 1400 \text{ litros} \] 2. **Calcular la cantidad de agua que se requiere por día:** La función que representa la cantidad de agua que se requiere por día para los cultivos es: \[ g(x) = 50x + 100 \] Para \( x = 1 \) (un día), la cantidad de agua requerida es: \[ g(1) = 50 \cdot 1 + 100 = 150 \text{ litros} \] Para \( x = 2 \) (dos días), la cantidad de agua requerida es: \[ g(2) = 50 \cdot 2 + 100 = 200 \text{ litros} \] Y así sucesivamente. 3. **Determinar cuántos días puede regar:** Queremos encontrar el valor de \( d \) tal que el agua total disponible sea igual a la cantidad de agua requerida por \( d \) días: \[ f(7) = g(d) \cdot d \] Sustituyendo los valores: \[ 1400 = (50d + 100) \cdot d \] Esto se puede expandir y reorganizar: \[ 1400 = 50d^2 + 100d \] \[ 50d^2 + 100d - 1400 = 0 \] Dividiendo toda la ecuación entre 50: \[ d^2 + 2d - 28 = 0 \] 4. **Resolver la ecuación cuadrática:** Usamos la fórmula cuadrática \( d = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = 1, \quad b = 2, \quad c = -28 \] \[ d = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2 \cdot 1} \] \[ d = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 112}}{2} \] \[ d = \frac{-2 \pm \sqrt{116}}{2} \] \[ d = \frac{-2 \pm 2\sqrt{29}}{2} \] \[ d = -1 \pm \sqrt{29} \] Calculando \( \sqrt{29} \) (aproximadamente 5.385): \[ d \approx -1 + 5.385 \approx 4.385 \] Dado que \( d \) debe ser un número entero, el agricultor puede regar sus cultivos durante **4 días**.