vación implícita. \( x^{3}-3 x^{2} y+2 x y^{2}=12 \)

Para encontrar la derivada implícita de la ecuación \( x^{3} - 3 x^{2} y + 2 x y^{2} = 12 \), vamos a derivar ambos lados de la ecuación con respecto a \( x \). 1. Derivamos cada término de la ecuación: - La derivada de \( x^{3} \) es \( 3x^{2} \). - Para el término \( -3x^{2}y \), aplicamos la regla del producto: \[ \frac{d}{dx}(-3x^{2}y) = -3(2xy + x^{2}\frac{dy}{dx}) = -6xy - 3x^{2}\frac{dy}{dx} \] - Para el término \( 2xy^{2} \), también aplicamos la regla del producto: \[ \frac{d}{dx}(2xy^{2}) = 2(y^{2} + 2xy\frac{dy}{dx}) = 2y^{2} + 4xy\frac{dy}{dx} \] - La derivada de la constante \( 12 \) es \( 0 \). 2. Ahora, juntamos todas las derivadas: \[ 3x^{2} - 6xy - 3x^{2}\frac{dy}{dx} + 2y^{2} + 4xy\frac{dy}{dx} = 0 \] 3. Agrupamos los términos que contienen \( \frac{dy}{dx} \): \[ 3x^{2} - 6xy + 2y^{2} + (-3x^{2} + 4xy)\frac{dy}{dx} = 0 \] 4. Despejamos \( \frac{dy}{dx} \): \[ (-3x^{2} + 4xy)\frac{dy}{dx} = - (3x^{2} - 6xy + 2y^{2}) \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-(3x^{2} - 6xy + 2y^{2})}{-3x^{2} + 4xy} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2} - 6xy + 2y^{2}}{3x^{2} - 4xy} \] Y esa es la derivada implícita de la ecuación dada.