¿Para cuáles valores de \( \alpha \) la matriz \( \left(\begin{array}{cc}\alpha+1 & -3 \\ 5 & 1-\alpha\end{array}\right) \) es no invertible?

Para determinar los valores de \( \alpha \) para los cuales la matriz \( \left(\begin{array}{cc}\alpha+1 & -3 \\ 5 & 1-\alpha\end{array}\right) \) es no invertible, necesitamos encontrar los valores de \( \alpha \) que hacen que la determinante de la matriz sea igual a cero, ya que una matriz es no invertible si su determinante es cero. La matriz dada es: \[ \left(\begin{array}{cc}\alpha+1 & -3 \\ 5 & 1-\alpha\end{array}\right) \] Para encontrar los valores de \( \alpha \) que hacen que la matriz sea no invertible, calculamos la determinante de la matriz y luego igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante. La determinante de una matriz cuadrada de 2x2 es calculada como: \[ \text{Determinante} = (\text{elemento superior izquierda} \times \text{elemento inferior derecha}) - (\text{elemento superior derecha} \times \text{elemento inferior izquierda}) \] Para la matriz dada: \[ \text{Determinante} = (\alpha+1)(1-\alpha) - (-3)(5) \] Simplificando: \[ \text{Determinante} = \alpha - \alpha^2 + 1 - \alpha - 15 \] \[ \text{Determinante} = -\alpha^2 - 2\alpha - 14 \] Igualamos la determinante a cero y resolvemos la ecuación: \[ -\alpha^2 - 2\alpha - 14 = 0 \] Ahora, resolvemos esta ecuación cuadrática para encontrar los valores de \( \alpha \) que hacen que la matriz sea no invertible. Solve the equation(The complex numbers system) by following steps: - step0: Solve using the quadratic formula in the complex numbers system: \(-\alpha ^{2}-2\alpha -14=0\) - step1: Multiply both sides: \(\alpha ^{2}+2\alpha +14=0\) - step2: Solve using the quadratic formula: \(\alpha =\frac{-2\pm \sqrt{2^{2}-4\times 14}}{2}\) - step3: Simplify the expression: \(\alpha =\frac{-2\pm \sqrt{-52}}{2}\) - step4: Simplify the expression: \(\alpha =\frac{-2\pm 2\sqrt{13}\times i}{2}\) - step5: Separate into possible cases: \(\begin{align}&\alpha =\frac{-2+2\sqrt{13}\times i}{2}\\&\alpha =\frac{-2-2\sqrt{13}\times i}{2}\end{align}\) - step6: Simplify the expression: \(\begin{align}&\alpha =-1+\sqrt{13}\times i\\&\alpha =\frac{-2-2\sqrt{13}\times i}{2}\end{align}\) - step7: Simplify the expression: \(\begin{align}&\alpha =-1+\sqrt{13}\times i\\&\alpha =-1-\sqrt{13}\times i\end{align}\) - step8: Rewrite: \(\alpha_{1}=-1-\sqrt{13}\times i,\alpha_{2}=-1+\sqrt{13}\times i\) - step9: Remove the complex number(s): \(\textrm{No real solution}\) La ecuación cuadrática \( -\alpha^2 - 2\alpha - 14 = 0 \) no tiene soluciones reales. Esto significa que no hay valores de \( \alpha \) para los cuales la matriz \( \left(\begin{array}{cc}\alpha+1 & -3 \\ 5 & 1-\alpha\end{array}\right) \) sea no invertible. Por lo tanto, la matriz es siempre invertible para cualquier valor de \( \alpha \).