4) Integracion Por.Partes c) \( \int \ln \left(x^{2}+8\right) d x \quad \) D) \( \int^{e-10} \cos (\theta) d \theta \)

Para resolver las integrales que has planteado, utilizaremos la técnica de integración por partes para la primera integral y la integración directa para la segunda. ### c) \( \int \ln(x^2 + 8) \, dx \) Usamos la fórmula de integración por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Elegimos: - \( u = \ln(x^2 + 8) \) \(\Rightarrow du = \frac{2x}{x^2 + 8} \, dx\) - \( dv = dx \) \(\Rightarrow v = x\) Ahora aplicamos la fórmula: \[ \int \ln(x^2 + 8) \, dx = x \ln(x^2 + 8) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 8} \, dx \] Simplificamos la integral: \[ \int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 8} \, dx = 2 \int \frac{x^2}{x^2 + 8} \, dx \] Para resolver \( \int \frac{x^2}{x^2 + 8} \, dx \), podemos dividir: \[ \frac{x^2}{x^2 + 8} = 1 - \frac{8}{x^2 + 8} \] Por lo tanto: \[ \int \frac{x^2}{x^2 + 8} \, dx = \int 1 \, dx - 8 \int \frac{1}{x^2 + 8} \, dx \] La primera integral es simplemente \( x \), y la segunda se puede resolver usando la fórmula de la integral de la función \( \frac{1}{a^2 + x^2} \): \[ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + C \] En este caso, \( a^2 = 8 \) así que \( a = 2\sqrt{2} \): \[ \int \frac{1}{x^2 + 8} \, dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2\sqrt{2}} \right) + C \] Entonces, combinando todo: \[ \int \ln(x^2 + 8) \, dx = x \ln(x^2 + 8) - 2 \left( x - 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2\sqrt{2}} \right) \right) + C \] ### d) \( \int_{e-10}^{e} \cos(\theta) \, d\theta \) Esta integral se puede resolver directamente: \[ \int \cos(\theta) \, d\theta = \sin(\theta) + C \] Ahora evaluamos la integral definida: \[ \int_{e-10}^{e} \cos(\theta) \, d\theta = \left[ \sin(\theta) \right]_{e-10}^{e} = \sin(e) - \sin(e-10) \] Por lo tanto, el resultado de la integral es: \[ \sin(e) - \sin(e-10) \] ### Resumen de resultados: - Para la integral \( \int \ln(x^2 + 8) \, dx \), el resultado es: \[ x \ln(x^2 + 8) - 2 \left( x - 4\sqrt{2} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2\sqrt{2}} \right) \right) + C \] - Para la integral \( \int_{e-10}^{e} \cos(\theta) \, d\theta \), el resultado es: \[ \sin(e) - \sin(e-10) \]