entre la raiz real entre 15 y 20 para el polinomio que se presenta a continuacion Aplic do de Newton-Raphson a dicha función y obtenga el resultado usando cuatro cifras ficativas. (10 puntos) \( =0.0074 x^{4}-0.284 x^{3}+3.355 x^{2}-12.183 x+5 \) 18.9470 19.3455 18.8948 18.8956

Para aplicar el método de Newton-Raphson al polinomio dado, primero necesitamos definir la función y su derivada. La función es: \[ f(x) = 0.0074x^4 - 0.284x^3 + 3.355x^2 - 12.183x + 5 \] Ahora, calculamos la derivada de \(f(x)\): \[ f'(x) = 0.0296x^3 - 0.852x^2 + 6.71x - 12.183 \] El método de Newton-Raphson se define por la siguiente fórmula iterativa: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] ### Paso 1: Elegir un valor inicial Dado que se nos indica que la raíz está entre 15 y 20, podemos elegir un valor inicial. Vamos a elegir \(x_0 = 18.9\). ### Paso 2: Calcular \(f(x_0)\) y \(f'(x_0)\) Calculamos \(f(18.9)\): \[ f(18.9) = 0.0074(18.9)^4 - 0.284(18.9)^3 + 3.355(18.9)^2 - 12.183(18.9) + 5 \] Calculando cada término: - \(0.0074(18.9)^4 \approx 0.0074 \cdot 12659.61 \approx 93.74\) - \(-0.284(18.9)^3 \approx -0.284 \cdot 6755.69 \approx -1911.99\) - \(3.355(18.9)^2 \approx 3.355 \cdot 357.21 \approx 1198.78\) - \(-12.183(18.9) \approx -12.183 \cdot 18.9 \approx -230.06\) - \(5\) Sumando todos los términos: \[ f(18.9) \approx 93.74 - 1911.99 + 1198.78 - 230.06 + 5 \approx -849.53 \] Ahora calculamos \(f'(18.9)\): \[ f'(18.9) = 0.0296(18.9)^3 - 0.852(18.9)^2 + 6.71(18.9) - 12.183 \] Calculando cada término: - \(0.0296(18.9)^3 \approx 0.0296 \cdot 6755.69 \approx 199.96\) - \(-0.852(18.9)^2 \approx -0.852 \cdot 357.21 \approx -304.36\) - \(6.71(18.9) \approx 6.71 \cdot 18.9 \approx 126.83\) - \(-12.183\) Sumando todos los términos: \[ f'(18.9) \approx 199.96 - 304.36 + 126.83 - 12.183 \approx 10.25 \] ### Paso 3: Aplicar la fórmula de Newton-Raphson Ahora aplicamos la fórmula: \[ x_1 = 18.9 - \frac{f(18.9)}{f'(18.9)} = 18.9 - \frac{-849.53}{10.25} \approx 18.9 + 82.85 \approx 101.75 \] Dado que este valor es muy alto, parece que hemos cometido un error en los cálculos. Vamos a intentar con un valor más cercano a la raíz. ### Paso 4: Repetir el proceso Vamos a elegir \(x_0 = 19\) y repetir el proceso. 1. Calcular \(f(19)\) y \(f'(19)\). 2. Aplicar la fórmula de Newton-Raphson. ### Cálculos para \(x_0 = 19\) \[ f(19) = 0.0074(19)^4 - 0.284(19)^3 + 3.355(19)^2 - 12.183(19) + 5 \] Calculando cada término: - \(0.0074(19)^4 \approx 0.0074 \cdot 13032.1 \approx 96.46\) - \(-0.284(19)^3 \approx -