¿Qué son las asíntotas horizontales y cómo se determinan para la función \( f(x) = \frac{2x+3}{x-1} \)?

Las asíntotas horizontales son líneas que describen el comportamiento de una función a medida que la variable independiente (en este caso, \( x \)) tiende a infinito positivo (\( +\infty \)) o infinito negativo (\( -\infty \)). En otras palabras, una asíntota horizontal es una línea \( y = k \) tal que \( f(x) \) se aproxima a \( k \) cuando \( x \) se vuelve muy grande o muy pequeño. Para determinar las asíntotas horizontales de la función \( f(x) = \frac{2x+3}{x-1} \), debemos analizar el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( +\infty \) y \( -\infty \). 1. **Límite cuando \( x \to +\infty \)**: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 3}{x - 1} \] Para simplificar este límite, podemos dividir el numerador y el denominador por \( x \): \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \] A medida que \( x \) tiende a \( +\infty \), \( \frac{3}{x} \) tiende a 0 y \( \frac{1}{x} \) también tiende a 0. Por lo tanto, el límite se convierte en: \[ = \frac{2 + 0}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2 \] 2. **Límite cuando \( x \to -\infty \)**: \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 3}{x - 1} \] Al igual que antes, dividimos el numerador y el denominador por \( x \): \[ = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \] Nuevamente, a medida que \( x \) tiende a \( -\infty \), \( \frac{3}{x} \) tiende a 0 y \( \frac{1}{x} \) también tiende a 0. Por lo tanto, el límite se convierte en: \[ = \frac{2 + 0}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2 \] En conclusión, la función \( f(x) = \frac{2x+3}{x-1} \) tiene una asíntota horizontal en \( y = 2 \) tanto cuando \( x \) tiende a \( +\infty \) como cuando \( x \) tiende a \( -\infty \).