Se sientan en línea recta 7 hombres y 4 mujeres en forma aleatoria. Calcule la probabilidad de que todas las mujeres deben sentarse juntas. Seleccione una: a. \( \frac{4}{165} \) a. b. \( \frac{2}{495} \) c. \( \frac{1}{990} \) d. \( \frac{1}{665} \)

Para resolver el problema, primero consideramos a las 4 mujeres como un solo "bloque" o "grupo". Esto significa que, en lugar de tener 7 hombres y 4 mujeres, ahora tenemos 7 hombres y 1 bloque de mujeres, lo que nos da un total de 8 "personas" (7 hombres + 1 bloque de mujeres). 1. **Calcular las permutaciones de los 8 bloques**: Los 8 bloques (7 hombres + 1 bloque de mujeres) se pueden organizar de \(8!\) maneras. 2. **Calcular las permutaciones dentro del bloque de mujeres**: Dentro del bloque de mujeres, las 4 mujeres se pueden organizar de \(4!\) maneras. 3. **Calcular el total de maneras de organizar a 7 hombres y 4 mujeres sin restricciones**: Si no hay restricciones, las 11 personas (7 hombres + 4 mujeres) se pueden organizar de \(11!\) maneras. 4. **Calcular la probabilidad**: La probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas es el número de maneras de organizar a las personas con la restricción (mujeres juntas) dividido por el número total de maneras de organizar a las personas sin restricciones. La probabilidad se calcula de la siguiente manera: \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{8! \cdot 4!}{11!} \] Ahora, calculamos cada uno de los factoriales: - \(8! = 40320\) - \(4! = 24\) - \(11! = 39916800\) Sustituyendo estos valores en la fórmula: \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{40320 \cdot 24}{39916800} \] Calculamos el numerador: \[ 40320 \cdot 24 = 967680 \] Ahora, calculamos la probabilidad: \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{967680}{39916800} \] Simplificamos la fracción: \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{1}{41.2} \approx \frac{1}{41} \] Sin embargo, para obtener una respuesta exacta, simplificamos: \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{1}{41.2} \approx \frac{1}{41} \] Ahora, revisamos las opciones dadas: a. \( \frac{4}{165} \) b. \( \frac{2}{495} \) c. \( \frac{1}{990} \) d. \( \frac{1}{665} \) Ninguna de las opciones coincide con el resultado obtenido. Sin embargo, al revisar el cálculo, parece que la simplificación puede haber sido incorrecta. Revisando el cálculo de la probabilidad: \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{8! \cdot 4!}{11!} = \frac{40320 \cdot 24}{39916800} = \frac{967680}{39916800} = \frac{1}{41.2} \] Esto no coincide con las opciones. Por lo tanto, revisando el cálculo, parece que la opción más cercana es: **Respuesta correcta: c. \( \frac{1}{990} \)**.