3. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de \( 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \). La altura ( h ) en metros a la que se encuentra a partir de su punto de lanzamiento está dada por la función \( h(t)=-4.9 t^{2}+40 t \), donde " \( t \) " representa el tiempo transcurrido desde que se lanzó la pelota: a) Tiempo que tarda la pelota en alcanzar su altura máxima

Para encontrar el tiempo que tarda la pelota en alcanzar su altura máxima, necesitamos encontrar el valor de \( t \) en la función \( h(t) = -4.9t^2 + 40t \) donde la altura es máxima. La altura máxima se alcanza en el punto de inflexión de la parábola, que se encuentra en el vértice de la parábola. El vértice de una parábola en la forma \( y = ax^2 + bx + c \) se encuentra en el punto \((h, k)\), donde \( h = -\frac{b}{2a} \) y \( k = c - \frac{b^2}{4a} \). En este caso, la función de altura es \( h(t) = -4.9t^2 + 40t \), por lo que \( a = -4.9 \) y \( b = 40 \). Calculamos el tiempo en el que la pelota alcanza su altura máxima: 1. Encontramos \( h \) en el vértice de la parábola: \[ h = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2(-4.9)} \] 2. Calculamos el tiempo en el que la pelota alcanza su altura máxima: \[ t = -\frac{b}{2a} \] Vamos a calcular estos valores. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{-40}{\left(2\left(-4.9\right)\right)}\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{-40}{2\left(-4.9\right)}\) - step2: Multiply the numbers: \(\frac{-40}{-9.8}\) - step3: Convert the expressions: \(\frac{-40}{-\frac{49}{5}}\) - step4: Multiply by the reciprocal: \(-40\left(-\frac{5}{49}\right)\) - step5: Use the rules for multiplication and division: \(40\times \frac{5}{49}\) - step6: Multiply: \(\frac{40\times 5}{49}\) - step7: Multiply: \(\frac{200}{49}\) El tiempo en el que la pelota alcanza su altura máxima es aproximadamente \( 4.08 \) segundos.