Encontrar la ecuación de la parábola con ver en \( (5,-6) \) y foco \( (5,-4) \)

Para encontrar la ecuación de la parábola, primero identificamos la información dada: - El vértice de la parábola es \( V(5, -6) \). - El foco de la parábola es \( F(5, -4) \). Dado que el vértice y el foco tienen la misma coordenada \( x \) (5), esto indica que la parábola se abre hacia arriba (ya que el foco está por encima del vértice). La forma estándar de la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba es: \[ (x - h)^2 = 4p(y - k) \] donde \( (h, k) \) es el vértice de la parábola y \( p \) es la distancia desde el vértice al foco. 1. **Identificamos \( h \) y \( k \)**: - \( h = 5 \) - \( k = -6 \) 2. **Calculamos \( p \)**: - La distancia \( p \) es la distancia vertical desde el vértice al foco. Dado que el foco está en \( (5, -4) \) y el vértice en \( (5, -6) \), tenemos: \[ p = -4 - (-6) = -4 + 6 = 2 \] (El valor de \( p \) es positivo porque la parábola se abre hacia arriba). 3. **Sustituimos en la ecuación**: - Sustituyendo \( h \), \( k \) y \( p \) en la ecuación de la parábola: \[ (x - 5)^2 = 4(2)(y + 6) \] Simplificando: \[ (x - 5)^2 = 8(y + 6) \] 4. **Reorganizamos la ecuación**: - Si deseamos, podemos expandir la ecuación: \[ (x - 5)^2 = 8y + 48 \] O dejarla en la forma que ya tenemos. Por lo tanto, la ecuación de la parábola es: \[ (x - 5)^2 = 8(y + 6) \]