5. Si \( \operatorname{Sen} 2 x=\frac{2}{3} \) \( \begin{array}{lll}\text { Calcula: } E=\operatorname{Sen}^{4} x+\operatorname{Cos}^{4} x & \text { c) }-2 / 9 & \text { e) } 5 / 9 \\ \text { a) } 4 / 9 & \text { d) } 1 / 9 & \end{array} \)

Para resolver el problema, comenzamos con la ecuación dada: \[ \operatorname{Sen} 2x = \frac{2}{3} \] Utilizamos la identidad de la función seno para el ángulo doble: \[ \operatorname{Sen} 2x = 2 \operatorname{Sen} x \operatorname{Cos} x \] Por lo tanto, podemos escribir: \[ 2 \operatorname{Sen} x \operatorname{Cos} x = \frac{2}{3} \] Dividiendo ambos lados por 2, obtenemos: \[ \operatorname{Sen} x \operatorname{Cos} x = \frac{1}{3} \] Ahora, utilizamos la identidad \( \operatorname{Sen}^2 x + \operatorname{Cos}^2 x = 1 \) para encontrar \( \operatorname{Sen}^4 x + \operatorname{Cos}^4 x \). Podemos usar la identidad: \[ \operatorname{Sen}^4 x + \operatorname{Cos}^4 x = (\operatorname{Sen}^2 x + \operatorname{Cos}^2 x)^2 - 2 \operatorname{Sen}^2 x \operatorname{Cos}^2 x \] Sustituyendo \( \operatorname{Sen}^2 x + \operatorname{Cos}^2 x = 1 \): \[ \operatorname{Sen}^4 x + \operatorname{Cos}^4 x = 1^2 - 2 \operatorname{Sen}^2 x \operatorname{Cos}^2 x = 1 - 2 \operatorname{Sen}^2 x \operatorname{Cos}^2 x \] Ahora, necesitamos calcular \( \operatorname{Sen}^2 x \operatorname{Cos}^2 x \). Sabemos que: \[ \operatorname{Sen} x \operatorname{Cos} x = \frac{1}{3} \] Por lo tanto: \[ \operatorname{Sen}^2 x \operatorname{Cos}^2 x = \left( \operatorname{Sen} x \operatorname{Cos} x \right)^2 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \] Sustituyendo esto en la expresión de \( \operatorname{Sen}^4 x + \operatorname{Cos}^4 x \): \[ \operatorname{Sen}^4 x + \operatorname{Cos}^4 x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \] Por lo tanto, el resultado es: \[ E = \operatorname{Sen}^4 x + \operatorname{Cos}^4 x = \frac{7}{9} \] Sin embargo, parece que no hay una opción que coincida con \( \frac{7}{9} \). Verifiquemos si hemos cometido algún error en la interpretación de las opciones. Las opciones dadas son: - a) \( \frac{4}{9} \) - b) \( -\frac{2}{9} \) - c) \( \frac{5}{9} \) - d) \( \frac{1}{9} \) - e) \( \frac{5}{9} \) Parece que hemos calculado correctamente \( E = \frac{7}{9} \), pero no está en las opciones. Por lo tanto, revisemos si hay un error en la interpretación de la pregunta o en las opciones proporcionadas. Si consideramos que el resultado correcto es \( \frac{7}{9} \), y no hay coincidencia con las opciones, entonces la respuesta correcta no está listada.