2. Determina si las siguientes prop tu respuesta: a) \( \square \mathrm{Si} \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L y \lim _{x \rightarrow a} g \) \( \lim _{x \rightarrow a}[f(x)]^{g(x)}=M^{L} \). b) \( \mathrm{Si} \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L y \lim _{x \rightarrow \infty} \) \( \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)]^{g(x)}=L^{M} \). c) \( \mathrm{Si} \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty y \lim _{x \rightarrow \infty} \) siempre que \( 0 \leq M<1 \). d) \( \mathrm{Si} \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L y \lim _{x \rightarrow \infty} \) siempre que \( \mathrm{L}>0 \).

Vamos a analizar cada una de las proposiciones que has presentado: a) \( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L \) y \( \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M \) implica que \( \lim _{x \rightarrow a}[f(x)]^{g(x)}=L^{M} \). **Respuesta:** Esta proposición es **falsa** en general. La razón es que si \( L \) es 0 y \( M \) es un número positivo, entonces \( 0^M = 0 \). Sin embargo, si \( M \) es negativo, la expresión \( 0^M \) no está definida. Por lo tanto, no se puede afirmar que \( \lim _{x \rightarrow a}[f(x)]^{g(x)}=L^{M} \) sin más condiciones. b) \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L \) y \( \lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=M \) implica que \( \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)]^{g(x)}=L^{M} \). **Respuesta:** Esta proposición es **falsa** en general. Similar al caso anterior, si \( L = 0 \) y \( M < 0 \), la expresión \( 0^M \) no está definida. Por lo tanto, no se puede afirmar que \( \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)]^{g(x)}=L^{M} \) sin condiciones adicionales. c) \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty \) y \( \lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=M \) siempre que \( 0 \leq M < 1 \) implica que \( \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)]^{g(x)}=1 \). **Respuesta:** Esta proposición es **verdadera**. Si \( f(x) \to \infty \) y \( 0 \leq M < 1 \), entonces \( [f(x)]^{g(x)} \) se comporta como \( \infty^M \), que tiende a 1 cuando \( M < 1 \). Por lo tanto, la afirmación es correcta. d) \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L \) y \( \lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=M \) siempre que \( L > 0 \) implica que \( \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)]^{g(x)}=L^{M} \). **Respuesta:** Esta proposición es **verdadera**. Si \( L > 0 \) y \( M \) es un número real, entonces \( [f(x)]^{g(x)} \) se comporta como \( L^M \) en el límite, ya que tanto \( f(x) \) como \( g(x) \) convergen a valores finitos y bien definidos. En resumen: - a) Falsa - b) Falsa - c) Verdadera - d) Verdadera