Ejercicio $$ \mathbf{3}(\mathbf{6 + 9}+\mathbf{5} $$ puntos) Considere el campo vectorial $$ \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $$ definido por $$ \vec{F}(x, y, z)=\left(2 x y+z^{2}, x^{2}-2 y z, 2 x z-y^{2}\right) . $$ 1. Pruebe que este campo vectorial es conservativo, usando el rotacional. 2. Obtenga una función potencial de $$ \vec{F} $$, es decir, una función $$ f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} $$ tal que $$ \nabla f=\vec{F} $$. 3. Calcule el valor de la integral de línea $$ \int_{\mathcal{C}} \vec{F} \bullet d \vec{r} $$, donde $$ \mathcal{C} $$ es una curva suave que comienza en el punto $$ (1,1,0) $$ y termina en el punto $$ (2,1,-1) $$.

Question

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1. El campo vectorial $$\vec{F}$$ es conservativo. 2. La función potencial es $$f(x, y, z) = x^2y + xz^2 - y^2z + C$$. 3. El valor de la integral de línea es $$6$$.

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