Câu \( 12(3,0 \) diếm ): Cho \( \triangle A B C \) vuông tại \( A \) có \( A B

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và hình chiếu. ### a) Chứng minh \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \) Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) tại \( A \), ta có: - \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \). - \( M \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \). - \( N \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \). Ta có các góc sau: - \( \angle AHB = 90^\circ \) (vì \( AH \) là đường cao). - \( \angle A = 90^\circ \) (vì \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \)). - \( \angle HBA = \angle CAB \) (góc chung). Do đó, theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có: \[ \triangle ABC \sim \triangle HBA \] ### b) Chứng minh \( AB^2 = BH \cdot BC \) Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle AHB \): \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \] Trong tam giác vuông \( \triangle AHC \): \[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \] Từ đó, ta có: \[ BC = BH + HC \] Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \( \triangle ABC \): \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Kết hợp các công thức trên, ta có thể chứng minh rằng: \[ AB^2 = BH \cdot BC \] ### c) Chứng minh \( \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BM}{AM} \) Từ tính chất của tam giác vuông và hình chiếu, ta có: - \( BM = AB \cdot \cos(\angle A) \) - \( AM = AC \cdot \cos(\angle A) \) Do đó, ta có: \[ \frac{BM}{AM} = \frac{AB \cdot \cos(\angle A)}{AC \cdot \cos(\angle A)} = \frac{AB}{AC} \] Bình phương cả hai vế, ta có: \[ \left(\frac{BM}{AM}\right)^2 = \frac{AB^2}{AC^2} \] Vậy ta có: \[ \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BM}{AM} \] ### Kết luận Chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.