Exercici \( 3(* *) \) Soient \( A, B \) et \( C \) trois parties d'un ensemble \( E \). Montrer que \[ A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) \] ExERCICE \( 4\left({ }^{*}\right) \)

Pour démontrer l'égalité \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \), nous allons prouver que chaque côté de l'égalité est inclus dans l'autre. **1. Montrons que \( A \cup (B \cap C) \subseteq (A \cup B) \cap (A \cup C) \)** : Soit \( x \in A \cup (B \cap C) \). Cela signifie que \( x \) est soit dans \( A \), soit dans \( B \cap C \). - Si \( x \in A \), alors \( x \in A \cup B \) et \( x \in A \cup C \). Par conséquent, \( x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \). - Si \( x \in B \cap C \), alors \( x \in B \) et \( x \in C \). Dans ce cas, \( x \in A \cup B \) et \( x \in A \cup C \) (car \( x \) est dans \( B \) ou \( C \)). Donc, \( x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \). Dans les deux cas, nous avons montré que \( x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \). Ainsi, nous avons prouvé que : \[ A \cup (B \cap C) \subseteq (A \cup B) \cap (A \cup C). \] **2. Montrons que \( (A \cup B) \cap (A \cup C) \subseteq A \cup (B \cap C) \)** : Soit \( x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \). Cela signifie que \( x \in A \cup B \) et \( x \in A \cup C \). - Si \( x \in A \), alors \( x \in A \cup (B \cap C) \). - Si \( x \notin A \), alors \( x \) doit être dans \( B \) (car \( x \in A \cup B \)) et dans \( C \) (car \( x \in A \cup C \)). Donc, \( x \in B \cap C \). Dans ce cas, nous avons \( x \in A \cup (B \cap C) \). Ainsi, nous avons montré que : \[ (A \cup B) \cap (A \cup C) \subseteq A \cup (B \cap C). \] **Conclusion** : Nous avons prouvé que : \[ A \cup (B \cap C) \subseteq (A \cup B) \cap (A \cup C) \] et \[ (A \cup B) \cap (A \cup C) \subseteq A \cup (B \cap C). \] Par conséquent, nous concluons que : \[ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C). \]