Bestem skæringspunktet mellem planen \( \alpha \) og linjen \( l \) Linjen \( l \) har parameterfremstilling \( \left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}2 \\ 5 \\ -2\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \). \( \alpha=\left(\begin{array}{c}2 \\ -3 \\ 1\end{array}\right) \)

For at bestemme skæringspunktet mellem linjen \( l \) og planen \( \alpha \), skal vi først forstå, hvad planen repræsenterer. Planen \( \alpha \) er givet ved et punkt \( \left(\begin{array}{c}2 \\ -3 \\ 1\end{array}\right) \). Vi antager, at planen er en plan, der indeholder dette punkt, men vi har ikke information om dens normale vektor eller en ligning. Linjen \( l \) er givet ved parameterfremstillingen: \[ \left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}2 \\ 5 \\ -2\end{array}\right) + t\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \] Her kan vi skrive linjen i komponentform: \[ \begin{aligned} x &= 2 + t, \\ y &= 5, \\ z &= -2 - t. \end{aligned} \] For at finde skæringspunktet mellem linjen og planen, skal vi finde værdien af \( t \), så punktet på linjen ligger i planen. Da vi kun har et punkt for planen, kan vi antage, at planen er en vandret plan, der går gennem punktet \( (2, -3, 1) \). Vi kan nu sætte \( y = -3 \) (da det er y-koordinaten for punktet i planen) og finde \( t \): Fra linjens parameterfremstilling ved \( y = 5 \): \[ 5 = -3 \] Dette er ikke muligt, hvilket betyder, at linjen ikke skærer planen, da linjen er parallel med y-aksen og aldrig vil nå y-værdien -3. Derfor er der ikke noget skæringspunkt mellem linjen \( l \) og planen \( \alpha \).