Show that \( 2 x^{2}+k x+k^{2}+1 \), where \( k \) is a constant, is always positive.

要证明 \( 2x^2 + kx + k^2 + 1 \)，其中 \( k \) 是一个常数，总是正的，我们可以按照以下步骤进行： ### 步骤 1：分析多项式的形式 给定的多项式是 \( 2x^2 + kx + k^2 + 1 \)。这是一个二次多项式，其一般形式为 \( ax^2 + bx + c \)，其中 \( a = 2 \)，\( b = k \)，\( c = k^2 + 1 \)。 ### 步骤 2：确定二次项系数 二次项系数 \( a = 2 \)，显然 \( a > 0 \)。这意味着抛物线开口向上。 ### 步骤 3：计算判别式 二次多项式的判别式 \( \Delta \) 定义为 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。我们将 \( a \)，\( b \)，\( c \) 的值代入判别式公式中： \[ \Delta = k^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k^2 + 1) \] ### 步骤 4：化简判别式 接下来，我们化简判别式： \[ \Delta = k^2 - 8(k^2 + 1) \] \[ \Delta = k^2 - 8k^2 - 8 \] \[ \Delta = -7k^2 - 8 \] ### 步骤 5：分析判别式的符号 由于 \( k^2 \) 总是非负的（即 \( k^2 \geq 0 \)），因此 \( -7k^2 \) 总是非正的（即 \( -7k^2 \leq 0 \)）。进一步地，\( -7k^2 - 8 \) 显然总是负的（即 \( -7k^2 - 8 < 0 \)）。 ### 步骤 6：得出结论 因为判别式 \( \Delta < 0 \)，这意味着二次多项式 \( 2x^2 + kx + k^2 + 1 \) 没有实数根。由于二次项系数 \( a > 0 \)，抛物线开口向上，且没有实数根，因此该多项式在实数范围内总是正的。 综上所述，\( 2x^2 + kx + k^2 + 1 \) 总是正的。