Exercice 2: (1) Montrer les implications suivantes: a \( (\forall \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}) ; \quad \mathrm{Si} \quad(|\mathrm{x}| \leq 1 \) et \( |\mathrm{y}| \leq 1) \quad \) alors \( \sqrt{1-\mathrm{x}^{2}}+\sqrt{1-\mathrm{y}^{2}} \leq 2 \sqrt{1-\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}\right)^{2}} \) b \( \left(\forall \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}^{*}\right) ; \quad 2 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}=1 \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}} \leq 20 \) (2) En utilisant "Le raisonnement par les équivalences successives", montrer que: a \( \left(\forall \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}^{+}\right) ; \quad \mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}^{2}+1}=\mathrm{y} \sqrt{\mathrm{y}^{2}+1} \Longleftrightarrow \mathrm{x}=\mathrm{y} \) b \( \left(\forall \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}_{+}^{*}\right) ; \quad \mathrm{x} \prec \mathrm{y} \Longleftrightarrow \frac{x}{y} \prec \frac{2 x+5 y}{5 x+2 y} \prec \frac{y}{x} \)

Pour résoudre cet exercice, nous allons aborder chaque partie étape par étape. ### Exercice 2 #### (1) Montrer les implications suivantes : **a)** Montrons que pour tout \( x, y \in \mathbb{R} \) tels que \( |x| \leq 1 \) et \( |y| \leq 1 \), on a : \[ \sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} \leq 2 \sqrt{1 - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2} \] **Démonstration :** 1. Posons \( a = \sqrt{1-x^2} \) et \( b = \sqrt{1-y^2} \). On sait que \( a, b \geq 0 \) car \( |x| \leq 1 \) et \( |y| \leq 1 \). 2. On peut utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz : \[ (a + b)^2 \leq (1 + 1)(a^2 + b^2) \] 3. Calculons \( a^2 + b^2 \) : \[ a^2 + b^2 = (1-x^2) + (1-y^2) = 2 - (x^2 + y^2) \] 4. En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons : \[ \sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} \leq \sqrt{2(2 - (x^2 + y^2))} \] 5. Maintenant, nous devons montrer que : \[ \sqrt{2(2 - (x^2 + y^2))} \leq 2 \sqrt{1 - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2} \] 6. En développant \( 1 - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 \) : \[ 1 - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = 1 - \frac{x^2 + 2xy + y^2}{4} = \frac{4 - (x^2 + 2xy + y^2)}{4} \] 7. Ainsi, nous avons : \[ 2 \sqrt{1 - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{4 - (x^2 + 2xy + y^2)}}{2} = \sqrt{4 - (x^2 + 2xy + y^2)} \] 8. Il reste à prouver que : \[ 2 - (x^2 + y^2) \leq 4 - (x^2 + 2xy + y^2) \] 9. Cela revient à prouver que : \[ 2xy \leq 2 \quad \text{ce qui est vrai car } |x|, |y| \leq 1. \] Ainsi, l'implication est démontrée. **b)** Montrons que pour tout \( x, y \in \mathbb{R}^* \) tels que \( 2x + 4y = 1 \), on a : \[ \frac{1}{x^2 + y^2} \leq 20 \] **Démonstration :** 1. À partir de l'équation \( 2x + 4y = 1 \), nous pouvons exprimer \( y \) en fonction de \( x \) : \[ y = \frac{1 - 2x}{4} \] 2. Remplaçons \( y \) dans \( x^2 + y^2 \) : \[ x^2 + y^2 = x^2 + \left(\frac{1 - 2x}{4}\right)^2 = x^2 + \frac{(1 - 2x)^2}{16} \] 3. Développons : \[ = x^2 + \frac{1 - 4x + 4x^2}{16} = x^2 + \frac{1}{16} - \frac{4x}{16} + \frac{4x^2}{16} = \frac{16x^2 + 1 - 4x + 4x^2}{16} = \frac{20x^2 - 4x + 1}{16} \] 4. Nous voulons montrer que : \[ \frac{1}{x^2 + y^2} \leq 20 \Rightarrow x^2 + y^2 \geq \frac{1}{20} \] 5. En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur \( (2x + 4y)^2 \): \[ (2x + 4y)^2 \leq (2^2 + 4^2)(x^2 + y^2) = 20(x^2 + y^2) \] 6. Comme \( 2x + 4y = 1 \), nous avons : \[ 1 \leq 20(x^2 + y^2) \Rightarrow x^2 + y^2 \geq \frac{1}{20} \] Ainsi, l'implication est démontrée. #### (2) Montrer les équivalences suivantes : **a)** Montrons que pour tout \( x, y \in \mathbb{R}^+ \) : \[ x \sqrt{x^2 + 1} = y \sqrt{y^2 + 1} \Longleftrightarrow x = y \] **Démonstration :** 1. Supposons \( x \sqrt{x^2 + 1} = y \sqrt{y^2 + 1} \). 2. En élevant au carré, nous avons : \[ x^2 (x^2 + 1) = y^2 (y^2 + 1) \Rightarrow x^4 + x^2 = y^4 + y^2 \] 3. Réarrangeons : \[ x^4 - y^4 + x^2 - y^2 = 0 \] 4. Factorisons : \[ (x^2 - y^2)(x^2 + y^2 + 1) = 0 \] 5. Comme \( x, y > 0 \), \( x^2 + y^2 + 1 > 0 \), donc \( x^2 - y^2 = 0 \Rightarrow x = y \). **b)** Montrons que pour tout \( x, y \in \mathbb{R}_{+}^* \) : \[ x \prec y \Longleftrightarrow \frac{x}{y} \prec \frac{2x + 5y}{5x + 2y} \prec \frac{y}{x} \] **Démonstration :** 1. Supposons \( x \prec y \), ce qui signifie \( \frac{x}{y} < 1 \). 2. Nous devons montrer que \( \frac{x}{y} < \frac{2x + 5y}{5x + 2y} < \frac{y}{x} \). 3. Pour \( \frac{x}{y} < \frac{2x + 5y}{5x + 2y} \), multiplions par \( y(5x + 2y) \) (positif) : \[ x(5x + 2y) < (2x + 5y)y \Rightarrow 5x^2 + 2xy < 2xy + 5y^2 \Rightarrow 5x^2 < 5y^2 \Rightarrow x^2 < y^2 \Rightarrow x < y \] 4. Pour \( \frac{2x + 5y}{5x + 2y} < \frac{y}{x} \), multiplions par \( x(5x + 2y) \) : \[ (2x + 5y)x < y(5x + 2y) \Rightarrow 2x^2 + 5xy < 5xy + 2y^2 \Rightarrow 2x^2 < 2y^2 \Rightarrow x^2 < y^2 \Rightarrow x < y \] 5. Ainsi, nous avons montré que \( x \prec y \) implique \( \frac{x}{y} \prec \frac{2x + 5y}{5x + 2y} \prec \frac{y}{x} \). 6. Réciproquement, supposons que \( \frac{x}{y} \prec \frac{2x + 5y}{5x + 2y} \prec \frac{y}{x} \). Cela implique que \( x < y \). Ainsi, l'équivalence est démontrée. ### Conclusion Nous avons démontré toutes les implications et équivalences demandées dans l'exercice.